(Potencial - distribuição contínua): Um bastão de comprimento
tem carga total
distribuída uniformemente ao longo de seu comprimento. O bastão está ao longo do eixo
com seu centro na origem. © Mostre que a resposta do item a condiz com o resultado do item b.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Eletrostática onde um bastão de comprimento
está carregado com uma carga total
distribuída de maneira uniforme ao longo do seu comprimento. Esse bastão está alinhado no eixo
com o centro na origem. No item ©, a gente precisa mostrar que a resposta do item (a) combina direitinho com o resultado do item (b). Para isso, vamos precisar lembrar como calcular o potencial elétrico devido a uma distribuição contínua de carga e saber utilizar integrais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como calcular o potencial elétrico
devido a um elemento de carga. A fórmula básica é:
Aqui,
é um elemento de carga,
é a distância do elemento de carga até o ponto onde estamos calculando o potencial, e
é a constante de permissividade do vácuo.
Passo 3
No item (a), provavelmente calculamos o potencial
usando a distribuição linear de carga. Como a carga é distribuída uniformemente, podemos definir a densidade linear de carga
como:
Então,
, onde
é um elemento infinitesimal de comprimento ao longo do bastão.
Passo 4
Agora, substituindo
na expressão do potencial, temos:
Aqui,
é a distância do elemento de carga ao ponto
onde estamos calculando o potencial.
Passo 5
No item (b), talvez tenhamos calculado o potencial
utilizando outra abordagem, como a superposição de potenciais de cada elemento de carga sem considerar a simetria específica. Mas, ao final das contas, a integral resultante deve ser a mesma, já que o potencial é uma grandeza escalar e independente do método de cálculo utilizado.
Passo 6
Para mostrar que
é igual a
, basta observar que ambas as expressões envolvem a mesma integral:
Portanto, independente do método usado nos itens (a) e (b), a expressão final para o potencial é a mesma, confirmando que as respostas estão de acordo.
Resposta
A resposta do item (a) é igual ao resultado do item (b), confirmando que ambos os métodos levam ao mesmo valor para o potencial elétrico do bastão carregado.
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