A água se move a uma velocidade de 4,0 m / s em um cano com uma seção reta deçã 5,0 cm^2. A água desce gradualmente 10 m enquanto a seção reta aumenta para 10,0 cm^2.
(a) Qual é a velocidade da água depois da descida?
(b) Se a pressão antes da descida é 1,5 times 10^5 Pa, qual é a pressão depois da descida?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o movimento da água em um cano. A gente vai trabalhar com hidrodinâmica, que estuda o fluxo de líquidos. Precisaremos usar a equação da continuidade para a parte (a) e a equação de Bernoulli para a parte (b). Vamos resolver cada parte passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos para a parte (a). A questão pede para descobrir qual é a velocidade da água depois que a seção do cano aumenta. Para isso, usamos a equação da continuidade, que nos diz que o produto da área da seção transversal pela velocidade do fluido permanece constante se não houver perda de fluido. Em outras palavras:
A1 times v1 = A2 times v2
Onde:
  • é a área inicial da seção,
  • é a velocidade inicial,
  • é a área final da seção,
  • é a velocidade final que queremos encontrar.

Passo 3

Vamos substituir os valores que temos na equação:
Primeiro, precisamos converter as áreas de cm² para m² para manter as unidades consistentes.
A1 = 5,0 cm^2 = 5,0 times 10^-4 m^2
A2 = 10,0 cm^2 = 10,0 times 10^-4 m^2
v1 = 4,0 m/s
Agora, aplicando na equação da continuidade:
5,0 times 10^-4 times 4,0 = 10,0 times 10^-4 times v2
Resolvendo para v2 = 5,0 times 10^-4 times 4,010,0 times 10^-4 = 20,0 times 10^-410,0 times 10^-4 = 2,0 m/s :

Passo 4

Agora, vamos para a parte (b). A questão quer saber qual é a pressão depois da descida. Para isso, usamos a equação de Bernoulli, que relaciona a pressão, a velocidade e a altura de um fluido em dois pontos diferentes. A equação é:
P1 + 12 rho v1^2 + rho g h1 = P2 + 12 rho v2^2 + rho g h2
Onde:
  • h2 = h1 - 10 m é a pressão,
  • h2 = -10 m é a densidade da água ( ),
  • é a velocidade,
  • é a aceleração da gravidade ( ),
  • é a altura.
Como a água desce 10 metros, a altura final é menor:
Vamos assumir que é nossa referência e igual a zero para simplificar:

Passo 5

Substituindo os valores na equação de Bernoulli:
P1 + 12 times 1000 times (4,0)^2 + 1000 times 9,81 times 0 = P2 + 12 times 1000 times (2,0)^2 + 1000 times 9,81 times (-10)
Simplificando:
1,5 times 10^5 + 12 times 1000 times 16 + 0 = P2 + 12 times 1000 times 4 + 1000 times (-98,1)
Calculando cada termo:
1,5 times 10^5 + 800 = P2 + 200 - 98100
Somando os termos do lado direito:
1,508 times 10^5 = P2 - 97900
Agora, isolando P2 = 1,508 times 10^5 + 97900 = 2,507 times 10^5 Pa :

Resposta

(a) A velocidade da água depois da descida é 2,0 m/s.
(b) A pressão depois da descida é 2,507 × 10⁵ Pa.

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