Água quente circula pela tubulação de um sistema de aquecimento de uma fábrica. Se a água é bombeada, no térreo, com velocidade de 0,50 m / s através de um cano com 4,0 cm de diâmetro sob pressão de 3,0 atm, determine a velocidade de escoamento e a pressão da água em um cano com 2,6 cm de diâmetro, localizado no andar superior, 5 m acima do térreo.
Considere:
g=10 m / s^2, rho água =1,0.10^3 kg / m^3á e 1 atm=1,0 cdot 10^5 N / m^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a água quente circulando nos canos de uma fábrica. No térreo, a água está passando por um cano com 4,0 cm de diâmetro a uma velocidade de 0,50 m/s e com uma pressão de 3,0 atm. Queremos descobrir qual será a velocidade da água e a pressão no cano que está no andar superior, que tem um diâmetro de 2,6 cm e está 5 metros acima do térreo. Para resolver isso, vamos usar duas leis importantes da física dos fluidos: a Lei da Continuidade e a Equação de Bernoulli.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a Lei da Continuidade, que basicamente diz que o fluxo de água deve ser constante no cano, ou seja, o que entra tem que sair. A fórmula é:
A1 v1 = A2 v2
Aqui, 0,001256 times 0,50 = 0,000531 times v2 é a área da seção transversal do cano e v2 = 0,001256 times 0,500,000531 é a velocidade da água. Precisamos encontrar v2 approx 0,0006280,000531 , a velocidade no segundo cano.
Primeiro, calculamos as áreas dos canos. A área de um círculo é v2 approx 1,18 , m/s , onde é o raio (metade do diâmetro).
Para o primeiro cano:
  • Diâmetro cm m
  • Raio m
  • Área
Para o segundo cano:
  • Diâmetro cm m
  • Raio m
  • Área
Agora aplicamos a Lei da Continuidade:
Resolvendo para :

Passo 3

Agora que temos a velocidade no segundo cano, vamos calcular a pressão lá em cima usando a Equação de Bernoulli, que relaciona pressão, velocidade e altura em dois pontos diferentes de um fluido em movimento. A fórmula é:
P1 + 12 rho v1^2 + rho g h = P2 + 12 rho v2^2
Onde:
  • P2 = P1 + 12 rho v1^2 + rho g h - 12 rho v2^2 é a pressão
  • P2 = 3,0 times 10^5 + 125 + 50000 - 696,2 é a densidade da água (1000 kg/m³)
  • P2 = 300000 + 125 + 50000 - 696,2 é a velocidade
  • P2 = 350000 - 696,2 + 125 é a aceleração da gravidade (10 m/s²)
  • P2 approx 350000 - 571,2 é a altura (5 m)
Queremos encontrar P2 approx 349428,8 , N/m² , a pressão no segundo cano. Rearranjando a equação:
P2 approx 3,49 times 10^5 , N/m²
Vamos substituir os valores:
  • P2 approx 3,49 , atm ²
Calculando cada termo:
  1. ²
  2. ²
  3. ²
Agora, somamos e subtraímos esses valores:
²
²

Resposta

A velocidade de escoamento no cano do andar superior é de aproximadamente 1,18 m/s e a pressão da água nesse cano é de cerca de 3,49 atm.

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