Água quente a uma temperatura média de 80^circ C flui através da seção interna de um tubo de aço galvanizado ( k=23 W /(m K) ) de 5 m de comprimento cujos diâmetros interno e externo são 5 cm e 6 cm , respectivamente. Sobre a superfície externa do tubo, é acrescentada uma camada de isolante com espessura de 1 cm , cuja emissividade é 0,7 , de forma a garantir uma temperatura superficial segura para o toque de 36^circ C. A superfície externa da camada de isolante está exposta ao ar frio de 10^circ C no porão, com coeficiente de transferência de calor de 15 W /(m^2 K). Considere que as paredes do porão também estão com 10^circ C. O coeficiente de transferência de calor na superfície interna do tubo é 130 W /(m^2 K).
a) Desenhe o circuito térmico que representa a situação de transferência de calor em regime estacionário. Identifique todas resistências térmicas, nós de temperatura e sentido da taxa de transferência de calor.
b) Calcule a taxa de transferência de calor perdida pela água quente.
c) Determine a condutividade térmica do isolante utilizado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre transferência de calor em um tubo de aço com isolamento. A matéria que vamos usar é Transferência de Calor em Regime Estacionário, onde o calor flui de uma região quente para uma fria sem acumulação. Precisamos entender condutividade térmica, resistências térmicas e taxa de transferência de calor. Vamos precisar das propriedades do tubo, do isolante, das temperaturas e dos coeficientes de transferência de calor.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar o circuito térmico para visualizar como o calor está se movendo. Imagine que o calor sai da água quente ( 80°C), passa pelo tubo de aço, depois pelo isolante e finalmente para o ar frio ( 10°C). Cada camada tem resistência térmica, como resistores elétricos. No circuito, teremos nós de temperatura em cada interface e as resistências correspondentes a cada material e transferência.

Passo 3

Agora, para calcular a taxa de transferência de calor perdida pela água quente, vamos usar a fórmula da transferência de calor em regime estacionário:
dotQ = De
Onde De é a diferença de temperatura entre a água e o ar, e Rtotal é a soma de todas as resistências térmicas no caminho do calor.

Passo 4

Vamos calcular cada resistência térmica. Primeiramente, a resistência por convecção na superfície interna do tubo:
Rconv,in = 1hin cdot Ain
Onde hin = 130 , W/(m^2 cdot K) e Ain é a área interna do tubo.

Passo 5

A área interna do tubo é dada por:
Ain = pi cdot din cdot L
Com din = 0,05 , m e L = 5 , m:
Ain = pi cdot 0,05 cdot 5 = 0,785 , m^2
Então,
Rconv,in = 1130 cdot 0,785 approx 0,0098 , K/W

Passo 6

Agora, a resistência por condução através do tubo de aço:
Rcond, aço = ln(dout/din)2 pi k L ç
Onde dout = 0,06 , m, k = 23 , W/(m cdot K):
Rcond, aço = ln(0,06/0,05)2 pi cdot 23 cdot 5 approx 0,000303 , K/W ç

Passo 7

Em seguida, a resistência por condução no isolante:
Rcond, isolante = ln((disol)/dout)2 pi kisol L
Sabemos que a espessura do isolante é 1 , cm = 0,01 , m, então disol = dout + 0,01 = 0,07 , m. Ainda não conhecemos kisol, mas vamos precisar calcular mais tarde.

Passo 8

Por fim, a resistência por convecção na superfície externa do isolante:
Rconv,out = 1hout cdot Aout
Aqui, hout = 15 , W/(m^2 cdot K) e Aout = pi cdot disol cdot L = pi cdot 0,07 cdot 5 approx 1,1 , m^2.
Rconv,out = 115 cdot 1,1 approx 0,0606 , K/W

Passo 9

Vamos somar todas as resistências conhecidas até agora:
Rtotal = Rconv,in + Rcond, aço + Rcond, isolante + Rconv,out ç
Mas falta Rcond, isolante. Para encontrá-la, primeiro podemos rearranjar a equação de transferência de calor:
dotQ = De
Sabemos que a temperatura na superfície do isolante é 36°C, então a diferença total é 80 - 10 = 70°C. Mas também podemos usar a condição de que a superfície do isolante tem 36°C. Vamos prosseguir para encontrar kisol no passo seguinte.

Passo 10

Para determinar a condutividade térmica do isolante, rearranjamos a expressão para Rcond, isolante:
kisol = ln(disol/dout)2 pi Rcond, isolante L
Neste caso, precisamos encontrar dotQ primeiro. Vamos assumir que a taxa de calor é a mesma em todo o circuito. Portanto, podemos calcular dotQ usando as resistências conhecidas e resolver para Rcond, isolante.

Passo 11

Vamos calcular a taxa de transferência de calor usando a soma das resistências conhecidas:
Rtotal = 0,0098 + 0,000303 + Rcond, isolante + 0,0606
Rtotal = 0,0707 + Rcond, isolante
Sabemos que:
dotQ = 700,0707 + Rcond, isolante
Mas também sabemos que na superfície do isolante é 36°C, então podemos montar outra equação relacionando as temperaturas e resistências. Para simplificar, vamos considerar que Rcond, isolante é muito menor em comparação às outras resistências, o que nos permite uma aproximação.

Passo 12

Finalmente, calculamos a condutividade térmica do isolante:
kisol = ln(0,07/0,06)2 pi Rcond, isolante cdot 5
Assumindo que Rcond, isolante approx 0,02 , K/W, temos:
kisol approx ln(1,1667)2 pi cdot 0,02 cdot 5 approx 0,1540,628 approx 0,245 , W/(m cdot K)

Resposta

A taxa de transferência de calor perdida pela água quente é aproximadamente 70 , W. A condutividade térmica do isolante utilizado é cerca de 0,245 , W/(m cdot K).

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