Uma parede plana é composta de dois materiais A e B. A camada do material A tem uma geração de calor uniforme dotqA=2,5 times 10^4 W / m^3, condutividade térmica kA=50 W /(m K) e espessura LA=20 cm. A camada do material B , com condutividade térmica kB=90 W /(m cdot K), não tem geração de calor. A superfície interna do material A é bem isolada, enquanto a superfície externa do material B é resfriada por uma corrente de ar com Tinfty=20^circ C e um coeficiente convectivo de h=180 W / m^2 K. Despreze os efeitos da radiação na sua análise e considere que a temperatura na interface entre os dois materiais é igual a T1=75^circ C.
a) Determine a temperatura da superfície resfriada (T2) e a espessura do material B na parede composta.
b) Calcule a temperatura da superfície isolada (T0).
c) Esboce a distribuição de temperaturas existente no interior da parede composta em condições de regime permanente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve transferência de calor em paredes compostas por dois materiais diferentes, A e B. A matéria que vamos focar é condução de calor, e vamos precisar usar equações de condução térmica, considerar a geração de calor no material A e aplicar condições de fronteira para encontrar as temperaturas e a espessura do material B.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que temos:
  • Material A tem geração de calor uniforme dotqA = 2,5 times 10^4 , W/m^3, condutividade térmica kA = 50 , W/(m·K) e espessura LA = 20 , cm.
  • Material B tem condutividade térmica kB = 90 , W/(m·K), espessura LB desconhecida.
  • A superfície interna de A está bem isolada, e a superfície externa de B está resfriada com Tinfty = 20^circ C e coeficiente de convecção h = 180 , W/(m^2·K).
  • A temperatura na interface entre A e B é T1 = 75^circ C.
Vamos começar a resolver a parte a), que pede para determinar a temperatura da superfície resfriada T2 e a espessura do material B.

Passo 3

Para encontrar T2 e LB, precisamos usar a equação de condução de calor para cada material e considerar a transferência de calor por condução e por convecção na superfície externa.
Primeiro, para o material A com geração de calor, a equação de condução é modificada para incluir a geração interna:
d^2 Tdx^2 = -dotqAkA
Como estamos em regime permanente e a superfície interna é isolada, a derivada de temperatura na entrada é zero.
Integrando a equação, podemos encontrar o fluxo de calor q através do material A:
q = -kA dTdx = dotqA LA2

Passo 4

Agora, consideramos o material B, que não tem geração de calor. A transferência de calor por condução é dada por:
q = -kB T1 - T2LB
Como o fluxo de calor deve ser o mesmo através dos dois materiais em regime permanente, podemos igualar as duas expressões para q:
dotqA LA2 = kB (T1 - T2)LB
Além disso, na superfície externa de B, a transferência de calor por convecção é:
q = h (T2 - Tinfty)

Passo 5

Igualando as duas expressões para q, temos:
kB (T1 - T2)LB = h (T2 - Tinfty)
Vamos reorganizar essa equação para encontrar T2:
kB (T1 - T2) = h LB (T2 - Tinfty)
kB T1 - kB T2 = h LB T2 - h LB Tinfty
kB T1 + h LB Tinfty = T2 (kB + h LB)
T2 = kB T1 + h LB TinftykB + h LB

Passo 6

Agora, voltamos à equação anterior que relaciona T1, T2 e LB:
dotqA LA2 = kB (T1 - T2)LB
Substituindo T2 da equação que acabamos de obter:
dotqA LA2 = kB (T1 - kB T1 + h LB TinftykB + h LB)LB
Simplificando:
dotqA LA2 = kB ((kB + h LB) T1 - (kB T1 + h LB Tinfty)kB + h LB)LB
dotqA LA2 = kB (h LB (T1 - Tinfty))(kB + h LB) LB
dotqA LA2 = kB h (T1 - Tinfty)kB + h LB

Passo 7

Agora, isolamos LB:
dotqA LA2 cdot (kB + h LB) = kB h (T1 - Tinfty)
dotqA LA kB2 + dotqA LA h LB2 = kB h (T1 - Tinfty)
dotqA LA h LB2 = kB h (T1 - Tinfty) - dotqA LA kB2
LB = 2(kB h (T1 - Tinfty) - dotqA LA kB2)dotqA LA h
LB = 2kB h (T1 - Tinfty) - dotqA LA kBdotqA LA h
LB = 2kB (T1 - Tinfty)dotqA LA - kBh

Passo 8

Agora, substituímos os valores numéricos:
  • dotqA = 2,5 times 10^4 , W/m^3
  • LA = 0,2 , m
  • kB = 90 , W/(m·K)
  • h = 180 , W/(m^2·K)
  • T1 = 75^circ C
  • Tinfty = 20^circ C
Calculando LB:
LB = 2 times 90 times (75 - 20)2,5 times 10^4 times 0,2 - 90180
LB = 2 times 90 times 555 times 10^3 - 0,5
LB = 99005000 - 0,5
LB = 1,98 - 0,5 = 1,48 , m

Passo 9

Agora, usamos LB para encontrar T2:
T2 = 90 times 75 + 180 times 1,48 times 2090 + 180 times 1,48
T2 = 6750 + 180 times 1,48 times 2090 + 266,4
T2 = 6750 + 533,76356,4
T2 = 7283,76356,4 approx 20,47^circ C

Resposta

a) A temperatura da superfície resfriada T2 é aproximadamente 20,47^circ C e a espessura do material B na parede composta é 1,48 , m.

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