Um recipiente esférico de instrumentos para medições submarinas, usado para sondagens e para medir condições da água, feito em aço inox ( rho=8055 kg / m^3; c = 480 J /(kg ^circ C ; k=15 W /(m^3 ^circ C) ) tem um raio de 20 cm e os seus equipamentos eletrônicos internos produzem uma taxa de geração de energia térmica uniforme igual a dotq=48 kW / m^3 durante seu funcionamento. O recipiente trabalha dentro de uma baía na qual a temperatura da água é de 16^circ C e o coeficiente de convecção é de 215 W /(m^2 ^circ C).
a) Calcule a taxa de variação da temperatura superficial do reservatório no tempo no instante em que o equipamento é ligado dentro da baía, considerando que a sua temperatura inicial é de 27^circ C, devido ao mesmo estar exposto ao Sol antes ser submerso na água.
b) Determine a temperatura superficial do recipiente em regime permanente.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a gente tem aqui e o que vai precisar para resolver as questões. Temos um recipiente esférico de aço inox com raio de 20 cm. Dentro dele, os equipamentos eletrônicos geram calor de forma uniforme a uma taxa de dotq=48 kW / m^3. Esse recipiente está submerso em água a 16^circ C, e a transferência de calor ocorre por convecção com um coeficiente de 215 W /(m^2 cdot ^circ C). Precisamos calcular:
a) A taxa de variação da temperatura superficial quando o equipamento é ligado, partindo de uma temperatura inicial de 27^circ C.
b) A temperatura superficial em regime permanente.
Para isso, vamos usar conceitos de transferência de calor, como condução e convecção, e a equação de balanço de energia.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte (a). Queremos achar a taxa de variação da temperatura superficial no instante em que o equipamento é ligado. Isso significa que precisamos relacionar a geração de calor interna com a perda de calor por convecção na superfície.
A equação básica de balanço de energia é:
Geração de calor = Perda de calor çã
Vamos calcular a geração total de calor dentro do recipiente e a perda de calor pela superfície.

Passo 3

Vamos calcular a geração total de calor ( dotQ>=r). Sabemos que a taxa de geração por volume é dotq=48 kW/m^3 e o volume da esfera é:
V = 43pi r^3
Convertendo o raio para metros: r = 20 cm = 0,2 m.
Então:
V = 43pi (0,2)^3 = 43pi (0,008) approx 0,03351 m^3
Agora, a geração total de calor:
dotQ>=r = dotq cdot V = 48 times 10^3 W/m^3 times 0,03351 m^3 approx 1608.48 W

Passo 4

Agora, vamos calcular a perda de calor por convecção ( dotQconv). A fórmula para convecção é:
dotQconv = h cdot A cdot (Ts - Tinfty)
Onde:
  • h é o coeficiente de convecção ( 215 W/m^2 cdot ^circC)
  • A é a área da superfície da esfera
  • Ts é a temperatura superficial
  • Tinfty é a temperatura da água ( 16^circC)
Primeiro, calculamos a área da esfera:
A = 4pi r^2 = 4pi (0,2)^2 = 4pi (0,04) approx 0,5027 m^2

Passo 5

No instante inicial, a temperatura superficial Ts é 27^circC. Então, a diferença de temperatura é:
De
Agora, a perda de calor por convecção:
dotQconv = 215 times 0,5027 times 11 approx 215 times 5,5297 approx 1188.63 W

Passo 6

Aplicando o balanço de energia, a taxa de variação da energia interna é igual à geração menos a perda:
rho V c dTdt = dotQ>=r - dotQconv
Onde:
  • rho é a densidade do aço inox ( 8055 kg/m^3)
  • c é a capacidade térmica ( 480 J/kg cdot ^circC)
Vamos rearranjar para encontrar dTdt:
dTdt = dotQ>=r - dotQconvrho V c
Substituindo os valores:
dTdt = 1608.48 - 1188.638055 times 0.03351 times 480
Calculando o numerador:
1608.48 - 1188.63 = 419.85 W

Passo 7

Agora, calculamos o denominador:
8055 times 0.03351 times 480 approx 8055 times 16.0848 approx 129,385.5 J/^circC cdot s
Então:
dTdt = 419.85129,385.5 approx 0.00325 ^circC/s

Resposta

A taxa de variação da temperatura superficial do reservatório no instante em que o equipamento é ligado é aproximadamente 0,00325,^circC/s.

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