Um recipiente esférico de instrumentos para medições submarinas, usado para sondagens e para medir condições da água, feito em aço inox (
; c =
;
) tem um raio de 20 cm e os seus equipamentos eletrônicos internos produzem uma taxa de geração de energia térmica uniforme igual a
durante seu funcionamento. O recipiente trabalha dentro de uma baía na qual a temperatura da água é de
e o coeficiente de convecção é de
.
a) Calcule a taxa de variação da temperatura superficial do reservatório no tempo no instante em que o equipamento é ligado dentro da baía, considerando que a sua temperatura inicial é de
, devido ao mesmo estar exposto ao Sol antes ser submerso na água.
b) Determine a temperatura superficial do recipiente em regime permanente.
a) Calcule a taxa de variação da temperatura superficial do reservatório no tempo no instante em que o equipamento é ligado dentro da baía, considerando que a sua temperatura inicial é de
b) Determine a temperatura superficial do recipiente em regime permanente.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a gente tem aqui e o que vai precisar para resolver as questões. Temos um recipiente esférico de aço inox com raio de 20 cm. Dentro dele, os equipamentos eletrônicos geram calor de forma uniforme a uma taxa de
. Esse recipiente está submerso em água a
, e a transferência de calor ocorre por convecção com um coeficiente de
. Precisamos calcular:
a) A taxa de variação da temperatura superficial quando o equipamento é ligado, partindo de uma temperatura inicial de
.
b) A temperatura superficial em regime permanente.
Para isso, vamos usar conceitos de transferência de calor, como condução e convecção, e a equação de balanço de energia.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte (a). Queremos achar a taxa de variação da temperatura superficial no instante em que o equipamento é ligado. Isso significa que precisamos relacionar a geração de calor interna com a perda de calor por convecção na superfície.
A equação básica de balanço de energia é:
Vamos calcular a geração total de calor dentro do recipiente e a perda de calor pela superfície.
Passo 3
Vamos calcular a geração total de calor (
). Sabemos que a taxa de geração por volume é
e o volume da esfera é:
Convertendo o raio para metros:
.
Então:
Agora, a geração total de calor:
Passo 4
Agora, vamos calcular a perda de calor por convecção (
). A fórmula para convecção é:
Onde:
-
é o coeficiente de convecção ( ) -
é a área da superfície da esfera -
é a temperatura superficial -
é a temperatura da água ( )
Primeiro, calculamos a área da esfera:
Passo 5
No instante inicial, a temperatura superficial
é
. Então, a diferença de temperatura é:
Agora, a perda de calor por convecção:
Passo 6
Aplicando o balanço de energia, a taxa de variação da energia interna é igual à geração menos a perda:
Onde:
-
é a densidade do aço inox ( ) -
é a capacidade térmica ( )
Vamos rearranjar para encontrar
:
Substituindo os valores:
Calculando o numerador:
Passo 7
Agora, calculamos o denominador:
Então:
Resposta
A taxa de variação da temperatura superficial do reservatório no instante em que o equipamento é ligado é aproximadamente
.