Um elemento combustível de tório ) com formato de um bastão cilíndrico longo é utilizado em um reator nuclear. A geração de calor ocorre uniformemente no elemento de diâmetro 40 mm , a uma taxa de . O sistema de resfriamento do reator é caracterizado por um fluido a temperatura de 350 K e coeficiente convectivo de .
a) A partir da equação geral da difusão, faça as devidas simplificações, identificando o motivo para eliminação ou manutenção dos seus termos e encontre a forma apropriada da equação da difusão para o caso da condução unidimensional, em regime permanente, com geração de energia térmica.
b) Encontre a equação da distribuição de temperaturas no interior elemento combustível, resolvendo a equação diferencial encontrada na letra a) e aplicando as condições de contorno pertinentes.
c) Calcule a temperatura máxima no interior do elemento combustível de tório para as condições expostas.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um bastão cilíndrico de tório sendo usado em um reator nuclear. A questão envolve entender como o calor é gerado e distribuído nesse bastão, considerando propriedades como condutividade térmica, geração de calor interno e resfriamento por convecção. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de condução de calor, equações diferenciais e condições de contorno.

Passo 2

Vamos começar pela parte a). A questão nos pede para simplificar a equação geral da difusão térmica para o caso específico de condução unidimensional, em regime permanente, com geração de energia térmica.
Primeiro, lembremos a equação geral da difusão de calor (equação de Fourier):
Onde:
  • é a temperatura,
  • é a difusividade térmica,
  • é a taxa de geração de calor por unidade de volume,
  • é a densidade,
  • é a capacidade térmica.
Como queremos condução unidimensional e em regime permanente, algumas simplificações podem ser feitas:
  • Unidimensional: O gradiente de temperatura ocorre apenas numa direção, digamos, radial.
  • Regime permanente: Não há variação da temperatura com o tempo, então .
Além disso, considerando que a geração de calor é uniforme, a equação se simplifica para:
Mas, para simplificar ainda mais, podemos definir como a condutividade térmica, então a equação fica:
Isso é a forma apropriada da equação da difusão para o caso que estamos tratando.

Passo 3

Agora, vamos para a parte b), que nos pede para encontrar a distribuição de temperaturas no interior do elemento combustível, resolvendo a equação diferencial que encontramos na parte a) e aplicando as condições de contorno.
Temos a equação:
Integrando uma vez em relação a :
Integrando novamente:
Agora, precisamos aplicar as condições de contorno para encontrar as constantes e . Considerando que o bastão é cilíndrico e que o resfriamento ocorre na superfície, usaremos coordenadas radiais. Vamos denotar em vez de .
As condições de contorno são:
  1. No centro do bastão ( ), a derivada da temperatura em relação a deve ser zero devido à simetria:
  1. Na superfície do bastão ( ), a condução de calor dentro do bastão iguala a convecção de calor para o fluido de resfriamento:
Onde:
  • é o raio do bastão,
  • é o coeficiente de transferência de calor por convecção,
  • é a temperatura na superfície,
  • é a temperatura do fluido.
Aplicando na equação de :
Usando a segunda condição de contorno, substituímos na equação:
Resolvendo para :
Então, a distribuição de temperatura fica:

Passo 4

Finalmente, vamos para a parte c), onde precisamos calcular a temperatura máxima no interior do elemento combustível de tório para as condições dadas.
Observando a expressão da temperatura:
A temperatura máxima ocorre no centro do bastão, onde :
á
Vamos substituir os valores fornecidos:
  • Diâmetro
Substituindo na equação:
á
Vamos calcular cada termo separadamente:
  1. :
  1. :
Somando tudo:
á

Resposta

A temperatura máxima no interior do elemento combustível de tório é aproximadamente 1967 K.

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