Um elemento combustível de tório (kto=55 W /(m cdot K) ) com formato de um bastão cilíndrico longo é utilizado em um reator nuclear. A geração de calor ocorre uniformemente no elemento de diâmetro 40 mm , a uma taxa de 2,7 times 10^8 W / m^3. O sistema de resfriamento do reator é caracterizado por um fluido a temperatura de 350 K e coeficiente convectivo de 8500 W /(m^2 K).
a) A partir da equação geral da difusão, faça as devidas simplificações, identificando o motivo para eliminação ou manutenção dos seus termos e encontre a forma apropriada da equação da difusão para o caso da condução unidimensional, em regime permanente, com geração de energia térmica.
b) Encontre a equação da distribuição de temperaturas no interior elemento combustível, resolvendo a equação diferencial encontrada na letra a) e aplicando as condições de contorno pertinentes.
c) Calcule a temperatura máxima no interior do elemento combustível de tório para as condições expostas.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um bastão cilíndrico de tório sendo usado em um reator nuclear. A questão envolve entender como o calor é gerado e distribuído nesse bastão, considerando propriedades como condutividade térmica, geração de calor interno e resfriamento por convecção. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de condução de calor, equações diferenciais e condições de contorno.

Passo 2

Vamos começar pela parte a). A questão nos pede para simplificar a equação geral da difusão térmica para o caso específico de condução unidimensional, em regime permanente, com geração de energia térmica.
Primeiro, lembremos a equação geral da difusão de calor (equação de Fourier):
partial Tpartial t = alpha nabla^2 T + Qrho cp
Onde:
  • 0 = alpha d^2 Tdx^2 + Qrho cp é a temperatura,
  • d^2 Tdx^2 = -Qk é a difusividade térmica,
  • é a taxa de geração de calor por unidade de volume,
  • é a densidade,
  • é a capacidade térmica.
Como queremos condução unidimensional e em regime permanente, algumas simplificações podem ser feitas:
  • Unidimensional: O gradiente de temperatura ocorre apenas numa direção, digamos, radial.
  • Regime permanente: Não há variação da temperatura com o tempo, então .
Além disso, considerando que a geração de calor é uniforme, a equação se simplifica para:
Mas, para simplificar ainda mais, podemos definir como a condutividade térmica, então a equação fica:
Isso é a forma apropriada da equação da difusão para o caso que estamos tratando.

Passo 3

Agora, vamos para a parte b), que nos pede para encontrar a distribuição de temperaturas no interior do elemento combustível, resolvendo a equação diferencial que encontramos na parte a) e aplicando as condições de contorno.
Temos a equação:
d^2 Tdx^2 = -Qk
Integrando uma vez em relação a dTdx = -Qkx + C1 :
T(x) = -Q2kx^2 + C1 x + C2
Integrando novamente:
dTdr|r=0 = 0 implies C1 = 0
Agora, precisamos aplicar as condições de contorno para encontrar as constantes -k dTdr|r=R = h(Ts - Tinfty) e T(r) = -Q2kr^2 + C2 . Considerando que o bastão é cilíndrico e que o resfriamento ocorre na superfície, usaremos coordenadas radiais. Vamos denotar -k (-QkR) = h(T(R) - Tinfty) em vez de QR = h(-Q2kR^2 + C2 - Tinfty) .
As condições de contorno são:
  1. No centro do bastão ( QR = -hQ2kR^2 + hC2 - hTinfty ), a derivada da temperatura em relação a hC2 = QR + hQ2kR^2 + hTinfty deve ser zero devido à simetria:
C2 = QRh + Q2kR^2 + Tinfty
  1. Na superfície do bastão ( T(r) = -Q2kr^2 + QRh + Q2kR^2 + Tinfty ), a condução de calor dentro do bastão iguala a convecção de calor para o fluido de resfriamento:
T(r) = Tinfty + QRh + Q2k(R^2 - r^2)
Onde:
  • é o raio do bastão,
  • é o coeficiente de transferência de calor por convecção,
  • é a temperatura na superfície,
  • é a temperatura do fluido.
Aplicando na equação de :
Usando a segunda condição de contorno, substituímos na equação:
Resolvendo para :
Então, a distribuição de temperatura fica:

Passo 4

Finalmente, vamos para a parte c), onde precisamos calcular a temperatura máxima no interior do elemento combustível de tório para as condições dadas.
Observando a expressão da temperatura:
T(r) = Tinfty + QRh + Q2k(R^2 - r^2)
A temperatura máxima ocorre no centro do bastão, onde Tmáx = T(0) = Tinfty + QRh + Q2kR^2 :
Tmáx = 350 + 2,7 times 10^8 times 0,028500 + 2,7 times 10^82 times 55(0,02)^2 á
Vamos substituir os valores fornecidos:
  • 2,7 times 10^8 times 0,028500 = 5,4 times 10^68500 approx 635,29 , K
  • 2,7 times 10^82 times 55 times (0,02)^2 = 2,7 times 10^8110 times 0,0004 approx 2,7 times 10^8 times 3,636 times 10^-6 approx 981,82 , K
  • Tmáx = 350 + 635,29 + 981,82 approx 1967,11 , K
  • Diâmetro
Substituindo na equação:
á
Vamos calcular cada termo separadamente:
  1. :
  1. :
Somando tudo:
á

Resposta

A temperatura máxima no interior do elemento combustível de tório é aproximadamente 1967 K.

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