Água (rho=1000 kg / m^3 ) escoa por uma tubulação de 0,075 m de diâmetro a uma velocidade dada pela equação:
v=5,6 times 10^-2[1-(r / R)^2] (m / s)
e cai num tanque cilíndrico de 160 cm de diâmetro e 60 cm de altura total. Se a altura inicial de água no tanque for 10 cm , quanto tempo levará para que a água transborde? Assuma que o escoamento na entrada seja laminar. Resposta: 2,27 h.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão nos apresenta e o que precisamos para resolver. Temos água escoando por uma tubulação com diâmetro de v = 5,6 times 10^-2 [1 - (rR)^2 ] (m/s) e densidade de . A velocidade da água varia conforme a posição no raio da tubulação, dada pela equação:
Queremos saber quanto tempo a água levará para transbordar um tanque cilíndrico que tem 160 cm de diâmetro, 60 cm de altura total e já possui 10 cm de água inicialmente. Vamos precisar usar conceitos de vazão e integrais para calcular o fluxo total de água entrando no tanque.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a vazão volumétrica da água na tubulação. A vazão Q = integral0^R v(r) cdot dA = integral0^R 5,6 times 10^-2 [1 - (rR)^2 ] cdot 2pi r , dr é a quantidade de água que passa por uma seção da tubulação por segundo. Como a velocidade varia com o raio, vamos integrar a velocidade sobre a área da seção transversal da tubulação.
A área diferencial em coordenadas polares é . Então, a vazão é:

Passo 3

Vamos resolver a integral:
Q = 5,6 times 10^-2 cdot 2pi integral0^R (r - r^3R^2) dr
Integrando termo a termo:
Q = 5,6 times 10^-2 cdot 2pi [ r^22 - r^44R^2 ]0^R
Substituindo Q = 5,6 times 10^-2 cdot 2pi ( R^22 - R^44R^2 ) = 5,6 times 10^-2 cdot 2pi ( R^22 - R^24 ) :
Q = 5,6 times 10^-2 cdot 2pi cdot R^24 = 5,6 times 10^-2 cdot pi R^22
Simplificando:

Passo 4

Agora, substituímos o valor do diâmetro da tubulação para encontrar D = 0,075 , m Rightarrow R = D2 = 0,0375 , m :
Q = 5,6 times 10^-2 cdot pi (0,0375)^22 = 5,6 times 10^-2 cdot pi cdot 0,001406252
Substituindo Q approx 5,6 times 10^-2 cdot 0,0044192 approx 5,6 times 10^-2 cdot 0,0022095 approx 1,237 times 10^-4 , m^3/s na expressão da vazão:
Calculando:

Passo 5

Agora que temos a vazão V = pi (Dt2)^2 h , precisamos calcular o volume total necessário para que a água no tanque atinja a altura de 60 cm. A altura inicial já é de 10 cm, então o aumento necessário é de 50 cm ( ).
O volume necessário para aumentar a altura em em um tanque cilíndrico é:
onde (convertendo 160 cm).

Passo 6

Substituindo os valores:
V = pi (1,602)^2 times 0,5 = pi (0,8)^2 times 0,5 = pi times 0,64 times 0,5 approx 1,005 , m^3

Passo 7

Para encontrar o tempo t = VQ que leva para adicionar esse volume ao tanque, usamos a relação:
t = 1,0051,237 times 10^-4 approx 8121 , segundos
Substituindo e :

Passo 8

Convertendo o tempo para horas:
t approx 81213600 approx 2,25 , horas

Resposta

O tempo necessário para que a água transborde é de aproximadamente .

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