Água
) escoa por uma tubulação de
de diâmetro a uma velocidade dada pela equação:
e cai num tanque cilíndrico de 160 cm de diâmetro e 60 cm de altura total. Se a altura inicial de água no tanque for 10 cm , quanto tempo levará para que a água transborde? Assuma que o escoamento na entrada seja laminar. Resposta:
.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão nos apresenta e o que precisamos para resolver. Temos água escoando por uma tubulação com diâmetro de
e densidade de
. A velocidade da água varia conforme a posição no raio da tubulação, dada pela equação:
Queremos saber quanto tempo a água levará para transbordar um tanque cilíndrico que tem 160 cm de diâmetro, 60 cm de altura total e já possui 10 cm de água inicialmente. Vamos precisar usar conceitos de vazão e integrais para calcular o fluxo total de água entrando no tanque.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a vazão volumétrica da água na tubulação. A vazão
é a quantidade de água que passa por uma seção da tubulação por segundo. Como a velocidade varia com o raio, vamos integrar a velocidade sobre a área da seção transversal da tubulação.
A área diferencial em coordenadas polares é
. Então, a vazão é:
Passo 3
Vamos resolver a integral:
Integrando termo a termo:
Substituindo
:
Simplificando:
Passo 4
Agora, substituímos o valor do diâmetro da tubulação para encontrar
:
Substituindo
na expressão da vazão:
Calculando:
Passo 5
Agora que temos a vazão
, precisamos calcular o volume total necessário para que a água no tanque atinja a altura de 60 cm. A altura inicial já é de 10 cm, então o aumento necessário é de 50 cm (
).
O volume necessário
para aumentar a altura em
em um tanque cilíndrico é:
onde
(convertendo 160 cm).
Passo 6
Substituindo os valores:
Passo 7
Para encontrar o tempo
que leva para adicionar esse volume ao tanque, usamos a relação:
Substituindo
e
:
Passo 8
Convertendo o tempo para horas:
Resposta
O tempo necessário para que a água transborde é de aproximadamente
.