Água ) escoa por uma tubulação de de diâmetro a uma velocidade dada pela equação:
e cai num tanque cilíndrico de 160 cm de diâmetro e 60 cm de altura total. Se a altura inicial de água no tanque for 10 cm , quanto tempo levará para que a água transborde? Assuma que o escoamento na entrada seja laminar. Resposta: .

Passo 1

Vamos resumir o que a questão nos apresenta e o que precisamos para resolver. Temos água escoando por uma tubulação com diâmetro de e densidade de . A velocidade da água varia conforme a posição no raio da tubulação, dada pela equação:
Queremos saber quanto tempo a água levará para transbordar um tanque cilíndrico que tem 160 cm de diâmetro, 60 cm de altura total e já possui 10 cm de água inicialmente. Vamos precisar usar conceitos de vazão e integrais para calcular o fluxo total de água entrando no tanque.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a vazão volumétrica da água na tubulação. A vazão é a quantidade de água que passa por uma seção da tubulação por segundo. Como a velocidade varia com o raio, vamos integrar a velocidade sobre a área da seção transversal da tubulação.
A área diferencial em coordenadas polares é . Então, a vazão é:

Passo 3

Vamos resolver a integral:
Integrando termo a termo:
Substituindo :
Simplificando:

Passo 4

Agora, substituímos o valor do diâmetro da tubulação para encontrar :
Substituindo na expressão da vazão:
Calculando:

Passo 5

Agora que temos a vazão , precisamos calcular o volume total necessário para que a água no tanque atinja a altura de 60 cm. A altura inicial já é de 10 cm, então o aumento necessário é de 50 cm ( ).
O volume necessário para aumentar a altura em em um tanque cilíndrico é:
onde (convertendo 160 cm).

Passo 6

Substituindo os valores:

Passo 7

Para encontrar o tempo que leva para adicionar esse volume ao tanque, usamos a relação:
Substituindo e :

Passo 8

Convertendo o tempo para horas:

Resposta

O tempo necessário para que a água transborde é de aproximadamente .

Exercícios relacionados

Verificar se a equação abaixo está dimensionalmente correta:

em que: é a velocidade do fluido no comprimento x
é a velocidade do fluido no comprimento y
P é a pressão do fluido
é viscosidade do fluido
é densidade do fluido
Uma solução aquosa de ácido acético (A) tem concentração mássica e é colocada em um tanque de mistura onde entra uma outra corrente aquosa do mesmo ácido (B), mas com concentração em massa de . Esta corrente B tem vazão e a somatória das duas correntes tem vazão . Determinar a composição da corrente de saída do tanque. Resposta: .
Na equação seguinte, a calor específico ( ) do cobre tem as unidades em :
onde T é a temperatura expressa em . Modifique a fórmula de tal modo que a expressão resultante dê unidades de Btu/(lbm. quando a temperatura for fornecida em .
No processamento de peixe, após a extração do óleo, gera-se um resíduo altamente protéico que pode ser empregado na alimentação humana ou animal. Tal resíduo é denominado torta de peixe, que para ser armazenado e comercializado necessita ser seco, recebendo então o nome de farinha de peixe. Sabe-se que uma torta de peixe tinha de umidade (base úmida) antes de entrar num secador de tambor rotativo e que a farinha de peixe que deixou o secador tinha de umidade (b.u.), sendo removidos 100 kg de água nesta operação. Determinar: a massa total de torta e a massa total da farinha. A definição de umidade em base úmida é dada por:
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