Verificar se a equação abaixo está dimensionalmente correta:
vx partial vxpartial x+vy partial vxpartial y=-1rho partial Ppartial x+murho(partial^2 vxpartial x^2+partial^2 vxpartial y^2)
em que: vx é a velocidade do fluido no comprimento x
vy é a velocidade do fluido no comprimento y
P é a pressão do fluido
mu é viscosidade do fluido
rho é densidade do fluido

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a pergunta está pedindo. A gente precisa verificar se a equação fornecida está dimensionalmente correta. Isso faz parte da Mecânica dos Fluidos, onde a gente analisa se todas as partes da equação têm as mesmas unidades de medida. Para resolver isso, vamos precisar entender as unidades de cada variável na equação e garantir que os termos de cada lado do sinal de igualdade tenham as mesmas dimensões.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as dimensões de cada variável na equação:
  • vx e vy: Velocidade, medida em metros por segundo ( x).
  • y e P: Comprimento, medida em metros ( mu).
  • rho: Pressão, medida em pascal ( ) ou .
  • : Viscosidade, medida em pascal-segundo ( ) ou .
  • : Densidade, medida em quilogramas por metro cúbico ( ).

Passo 3

Vamos analisar cada termo da equação separadamente para verificar suas dimensões.
Termo à esquerda:
vx partial vxpartial x + vy partial vxpartial y
Vamos calcular as dimensões de cada parte:
  1. vx: vx partial vxpartial x = m/s times 1/s = m/s^2
  2. vy partial vxpartial y = m/s times 1/s = m/s^2 : Derivada de velocidade em relação a comprimento, então
Multiplicando:
O mesmo vale para o segundo termo:
Então, o lado esquerdo tem dimensão .

Passo 4

Agora, vamos analisar o lado direito da equação:
-1rho partial Ppartial x + murho(partial^2 vxpartial x^2 + partial^2 vxpartial y^2)
Vamos calcular as dimensões de cada parte:
  1. 1rho partial Ppartial x = m^3/kg times kg/(m^2 cdot s^2) = m/s^2 : murho times 1s cdot m = m^2/s times 1/(s cdot m) = m/s^2
  2. : Derivada de pressão em relação a comprimento, então
Multiplicando:
Agora, para o segundo termo:
  1. :
  2. e : Derivadas segundas de velocidade em relação a comprimento, então
Multiplicando:
Então, o lado direito também tem dimensão .

Resposta

Como ambos os lados da equação têm a mesma dimensão ( ), a equação está dimensionalmente correta.

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