A água de um rio escoa com velocidade de 2,0 m / s para o sul. Um homem dirige um barco a motor ao longo do rio; sua velocidade é igual a 4,2 m / s em relação à água, na direção leste. A largura do rio é igual a 500 m . (a) Determine o módulo, a direção e o sentido de sua velocidade em relação à Terra. (b) Quanto tempo é necessário para atravessar o rio? © A que distância ao sul do ponto inicial ele atingirá a margem oposta?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema de movimento de um barco em um rio. A água do rio está se movendo para o sul com uma velocidade de 2,0 , m/s. O homem está pilotando o barco a motor, que tem uma velocidade de 4,2 , m/s em relação à água, na direção leste. A largura do rio é de 500 metros. Vamos precisar usar vetores para somar as velocidades e calcular o tempo e a distância envolvida nessa travessia.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar a velocidade do barco em relação à Terra. Para isso, precisamos somar a velocidade do barco em relação à água ($ \vec{v}{barco/água} vbarco/água áçãà \vec{v}{água/Terra} $).
vágua/Terra áá
Aqui, a velocidade do barco em relação à água é para o leste ( vbarco/Terra = vbarco/água + vágua/Terra ) e a velocidade da água é para o sul ( 4,2 , m/s).

Passo 3

Para somar essas velocidades, vamos considerar as componentes leste e sul separadamente.
  • Componente leste: 4,2 , m/s
  • Componente sul: 2,0 , m/s
Então, a velocidade resultante do barco em relação à Terra tem duas componentes: uma para o leste e outra para o sul.

Passo 4

Agora, vamos calcular o módulo da velocidade resultante usando o teorema de Pitágoras:
|vbarco/Terra| = raiz(4,2)^2 + (2,0)^2 = raiz17,64 + 4 = raiz21,64 approx 4,65 , m/s

Passo 5

Para encontrar a direção, vamos calcular o ângulo que a velocidade resultante forma com a direção leste. Usamos a tangente:
tan(theta) = componente sulcomponente <=ste = 2,04,2 approx 0,476
Então,
theta = arctan(0,476) approx 25,5^circ , ao sul do <=ste

Passo 6

Agora, vamos calcular o tempo necessário para atravessar o rio. Como a largura do rio é de 500 metros e a velocidade do barco na direção leste é 4,2 , m/s, usamos a fórmula do tempo:
t = distânciavelocidade = 5004,2 approx 119,05 , segundos â

Passo 7

Por fim, vamos determinar a distância que o barco será levado para o sul pela corrente do rio durante o tempo de travessia. Usamos a velocidade da água e o tempo calculados:
Distância sul = velocidade sul times t = 2,0 times 119,05 approx 238,1 , metros â

Resposta

(a) A velocidade do barco em relação à Terra tem módulo aproximado de 4,65 , m/s, na direção de 25,5^circ ao sul do leste.
(b) O tempo necessário para atravessar o rio é de aproximadamente 119 segundos.
© O barco irá atingir a margem oposta a cerca de 238 metros ao sul do ponto inicial.

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