Um objeto de massa
presa na extremidade de uma mola ideal de constante de elasticidade
oscila segundo a seguinte solução geral de sua equação de movimento:
em que a distância é medida em metros e o tempo em segundo (considere o sistema isolado sem qualquer participação de forças dissipativas). Determine
e) o valor da energia cinética em joules
e) o valor da energia cinética em joules
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um objeto de massa
preso numa mola com constante elástica
. Ele está oscilando de acordo com a função
, onde
é a posição em metros e
é o tempo em segundos. Nosso objetivo aqui é encontrar a energia cinética desse sistema, medida em joules. Para isso, vamos precisar usar conceitos de movimento harmônico simples e energia cinética.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a velocidade do objeto em qualquer instante de tempo
. Sabemos que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar
em relação a
:
Usando a regra da cadeia para derivadas, temos:
Passo 3
Agora que temos a expressão para a velocidade
, podemos calcular a energia cinética
usando a fórmula:
Isso significa que a energia cinética depende do quadrado da velocidade em qualquer instante de tempo
.
Passo 4
Vamos substituir os valores que já temos na fórmula da energia cinética:
Simplificando:
Resposta
A energia cinética do sistema é dada por: