Um objeto de massa m=4 kg presa na extremidade de uma mola ideal de constante de elasticidade k oscila segundo a seguinte solução geral de sua equação de movimento: x=4 cos (1.33 t+pi / 5) em que a distância é medida em metros e o tempo em segundo (considere o sistema isolado sem qualquer participação de forças dissipativas). Determine
e) o valor da energia cinética em joules

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um objeto de massa preso numa mola com constante elástica . Ele está oscilando de acordo com a função , onde é a posição em metros e é o tempo em segundos. Nosso objetivo aqui é encontrar a energia cinética desse sistema, medida em joules. Para isso, vamos precisar usar conceitos de movimento harmônico simples e energia cinética.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a velocidade do objeto em qualquer instante de tempo v(t) = dxdt = ddt [ 4 cos(1.33 t + pi5) ] . Sabemos que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar v(t) = -4 cdot 1.33 sin(1.33 t + pi5) = -5.32 sin(1.33 t + pi5) em relação a :
Usando a regra da cadeia para derivadas, temos:

Passo 3

Agora que temos a expressão para a velocidade KE = 12 m v(t)^2 , podemos calcular a energia cinética usando a fórmula:
Isso significa que a energia cinética depende do quadrado da velocidade em qualquer instante de tempo .

Passo 4

Vamos substituir os valores que já temos na fórmula da energia cinética:
KE = 12 times 4 , kg times (-5.32 sin(1.33 t + pi5))^2
Simplificando:
KE = 2 times (28.30) sin^2(1.33 t + pi5)
KE = 56.60 sin^2(1.33 t + pi5) , J

Resposta

A energia cinética do sistema é dada por:
KE(t) = 56.60 sin^2(1.33 t + pi5) , J

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