Se , é tal que , então o sistema homogêneo tem solução diferente da solução trivial, ou seja, todo sistema homogêneo com menos equações do que incógnitas tem infinitas soluções.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o problema está falando. A gente tem uma matriz com linhas e colunas, ou seja, é uma matriz . Sabemos que , o que significa que tem menos equações () do que incógnitas (). A questão quer mostrar que o sistema homogêneo tem soluções diferentes da trivial (onde todas as incógnitas são zero). Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente sobre sistemas lineares e o conceito de dimensão do espaço das soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um sistema homogêneo sempre tem pelo menos a solução trivial, onde todas as variáveis são iguais a zero. Mas a gente quer mostrar que tem outras soluções também. Para isso, vamos olhar para o teorema da dimensão.
Passo 3
O teorema da dimensão diz que, num sistema linear, a soma da dimensão do espaço das soluções (chamado de espaço nulo ou núcleo) e a dimensão da imagem da matriz (chamado de posto) é igual ao número de incógnitas. Em fórmulas:
Passo 4
Agora, como é no máximo igual ao número de equações , temos:
Como , isso implica que:
Ou seja, o espaço das soluções não nulo tem dimensão positiva, o que significa que existem soluções não triviais.
Passo 5
Então, como a dimensão do espaço das soluções é maior que zero, isso quer dizer que há infinitas soluções para o sistema homogêneo . Essas soluções não são apenas a trivial, mas um conjunto infinito de vetores que satisfazem a equação.
Resposta
Todo sistema homogêneo com menos equações do que incógnitas () tem infinitas soluções não triviais.