Encontre uma base para o espaço gerado pelos vetores
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para encontrar uma base para o espaço gerado por cinco vetores no espaço . Isso significa que queremos identificar um conjunto de vetores entre esses cinco que sejam linhermente independentes e que consigam gerar todo o espaço que os cinco vetores iniciais geram. Para resolver isso, vamos usar álgebra linear, especialmente o método de eliminação de Gauss para encontrar quais vetores são independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os vetores em uma matriz, colocando cada vetor como uma coluna:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a eliminação de Gauss para reduzir essa matriz a uma forma escalonada. Isso nos ajudará a identificar quais colunas (vetores) são independentes.
Primeira linha: Já está com um 1 na primeira posição, ótimo!
Eliminando abaixo do primeiro 1: Subtraímos a primeira linha da quarta para eliminar o 1 na posição (4,1).
Passo 4
Agora, olhamos para a segunda linha. Já que os dois primeiros elementos são zeros, vamos para a terceira linha.
Na terceira linha, temos um 1 na terceira posição. Vamos usar isso para eliminar os elementos acima e abaixo:
Adicionar a terceira linha à segunda para eliminar o -1:
Eliminar o 3 na primeira linha usando a terceira linha:
Passo 5
Agora, vamos focar na quarta linha. Vamos dividir a quarta linha por 4 para simplificar:
Depois, vamos usar a quarta linha para eliminar o -2 na primeira linha:
Multiplicar a quarta linha por 2 e somar à primeira linha:
Passo 6
Agora, nossa matriz está em forma escalonada. As colunas que têm pivôs (ou seja, os primeiros elementos não nulos em cada linha) são as colunas 1, 2 e 3. Isso significa que os vetores correspondentes a essas colunas são independentes e formam uma base para o espaço gerado pelos cinco vetores iniciais.
Resposta
Uma base para o espaço gerado pelos vetores é formada pelos vetores