Encontre uma base para o espaço gerado pelos vetores
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para encontrar uma base para o espaço gerado por cinco vetores no espaço . Isso significa que queremos identificar um conjunto de vetores entre esses cinco que sejam linhermente independentes e que consigam gerar todo o espaço que os cinco vetores iniciais geram. Para resolver isso, vamos usar álgebra linear, especialmente o método de eliminação de Gauss para encontrar quais vetores são independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os vetores em uma matriz, colocando cada vetor como uma coluna:
Agora, vamos aplicar a eliminação de Gauss para reduzir essa matriz a uma forma escalonada. Isso nos ajudará a identificar quais colunas (vetores) são independentes.
Primeira linha: Já está com um 1 na primeira posição, ótimo!
Eliminando abaixo do primeiro 1: Subtraímos a primeira linha da quarta para eliminar o 1 na posição (4,1).
Agora, nossa matriz está em forma escalonada. As colunas que têm pivôs (ou seja, os primeiros elementos não nulos em cada linha) são as colunas 1, 2 e 3. Isso significa que os vetores correspondentes a essas colunas são independentes e formam uma base para o espaço gerado pelos cinco vetores iniciais.
Resposta
Uma base para o espaço gerado pelos vetores é formada pelos vetores