Suponha que a matriz seja equivalente por linhas a . Sem fazer cálculos, determine o posto , e posto . Depois, encontre bases para , e .
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem duas matrizes, A e B, que são equivalentes por linhas. Isso significa que, usando operações elementares de linha, a gente consegue transformar A na B. Nosso objetivo aqui é descobrir algumas propriedades dessa matriz A sem fazer cálculos complicados. Vamos precisar entender conceitos como posto de uma matriz, espaço nulo, espaço gerado pelas linhas e posto da transposta da matriz. Também vamos encontrar bases para alguns desses espaços.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o posto da matriz A, que é basicamente o número de linhas independentes dela. Como A e B são equivalentes por linhas, elas têm o mesmo posto. Olhando a matriz B, vemos que ela tem 3 linhas não nulas (as três primeiras). Portanto, o posto de A é 3.
Passo 3
Agora, vamos para a dimensão do espaço nulo de A, que é o conjunto de todas as soluções da equação . A fórmula que usamos aqui é:
Onde é o número de colunas de A. Como A tem 5 colunas e o posto é 3:
Passo 4
Vamos agora para a dimensão do espaço gerado pelas linhas de A, que também é conhecido como dimensão do espaço linha ou . Esse espaço tem a mesma dimensão que o posto da matriz, então:
Passo 5
O próximo passo é encontrar o posto da transposta de A, denotado por . Uma propriedade importante das matrizes é que o posto de uma matriz é igual ao posto da sua transposta. Logo:
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma base para o espaço das colunas de A, ou seja, . As colunas de A que correspondem às colunas pivô na matriz B formam a base. Observando a matriz B, vemos que as colunas 1, 3 e 5 são pivôs. Portanto, as colunas 1, 3 e 5 de A formam uma base para .
Passo 7
Para encontrar uma base para o espaço nulo de A, precisamos encontrar vetores que satisfaçam . Mas, como já sabemos a dimensão é 2, podemos escolher duas variáveis livres e expressar as variáveis dependentes em termos delas. Sem entrar em cálculos detalhados, podemos concluir que duas soluções linearmente independentes formarão a base.
Passo 8
Por fim, vamos encontrar uma base para o espaço gerado pelas linhas de A, ou seja, . Esse espaço é gerado pelas linhas não nulas da matriz escalonada B. Assim, as três primeiras linhas de B formam uma base para .