Se
é um subconjunto aberto de
, para
, mostre que
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: Temos que cada conjunto
é um subconjunto aberto de
para cada
. O objetivo é mostrar que o produto desses conjuntos
também é um subconjunto aberto no produto dos espaços
.
Nesse problema, estamos trabalhando com conceitos de topologia, especificamente a topologia produto. Precisaremos entender o que significa um conjunto ser aberto em um espaço topológico e como a topologia produto é definida.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um conjunto aberto. Em um espaço topológico, um conjunto é aberto se, intuitivamente, não contém seus pontos de fronteira. Por exemplo, no caso da linha real
, intervalos abertos como
são conjuntos abertos.
Passo 3
Agora, vamos entender a topologia produto. Dado uma coleção de espaços topológicos
, a topologia produto em
é a menor topologia que torna todas as projeções contínuas. Basicamente, um conjunto é aberto no espaço produto se pode ser escrito como um produto de conjuntos abertos nos espaços individuais.
Passo 4
Como cada
é aberto em
, o produto
consiste de todos os n-tuplas onde cada elemento da tupla pertence ao conjunto aberto correspondente
.
Passo 5
De acordo com a definição da topologia produto, o produto de conjuntos abertos é aberto no espaço produto. Portanto, já que cada
é aberto em
, o conjunto
é aberto em
.
Resposta
Assim, demonstramos que
é um subconjunto aberto de
.
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, com uma velocidade cuja componente em
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