Se é um subconjunto aberto de , para , mostre que
é

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: Temos que cada conjunto é um subconjunto aberto de para cada . O objetivo é mostrar que o produto desses conjuntos também é um subconjunto aberto no produto dos espaços .
Nesse problema, estamos trabalhando com conceitos de topologia, especificamente a topologia produto. Precisaremos entender o que significa um conjunto ser aberto em um espaço topológico e como a topologia produto é definida.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um conjunto aberto. Em um espaço topológico, um conjunto é aberto se, intuitivamente, não contém seus pontos de fronteira. Por exemplo, no caso da linha real , intervalos abertos como são conjuntos abertos.

Passo 3

Agora, vamos entender a topologia produto. Dado uma coleção de espaços topológicos , a topologia produto em é a menor topologia que torna todas as projeções contínuas. Basicamente, um conjunto é aberto no espaço produto se pode ser escrito como um produto de conjuntos abertos nos espaços individuais.

Passo 4

Como cada é aberto em , o produto consiste de todos os n-tuplas onde cada elemento da tupla pertence ao conjunto aberto correspondente .

Passo 5

De acordo com a definição da topologia produto, o produto de conjuntos abertos é aberto no espaço produto. Portanto, já que cada é aberto em , o conjunto é aberto em .

Resposta

Assim, demonstramos que é um subconjunto aberto de .

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