Um ponto móvel desloca-se ao longo da circunferência
, com uma velocidade cuja componente em
é dada por
. Calcule
. Sendo o deslocamento angular do móvel, medida a partir do ponto
no sentido anti-horário, calcule
. Este móvel desloca-se na circunferência no sentido horário ou anti-horário?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um ponto que se move na circunferência definida por
. A velocidade desse ponto tem uma componente em
dada por
. Nosso objetivo é descobrir duas coisas:
- Calcular
, que é a taxa de variação de em relação ao tempo. - Calcular
, que é a taxa de variação do deslocamento angular em relação ao tempo, considerando que é medido a partir do ponto no sentido anti-horário. - Determinar se o móvel está se movendo no sentido horário ou anti-horário.
Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo, especialmente derivadas, e um pouco de geometria das circunferências.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a circunferência está definida por
. Isso significa que qualquer ponto
nesse caminho sempre satisfaz essa equação.
Como temos
, queremos encontrar
. Para isso, vamos diferenciar a equação da circunferência em relação ao tempo
.
Vamos lá:
O que nos dá:
Passo 3
Agora, vamos isolar
:
Dividindo ambos os lados por
:
Sabemos que
, então substituímos:
Passo 4
Então, encontramos que:
Isso nos mostra que a taxa de variação de
depende diretamente da coordenada
do ponto.
Agora, vamos calcular
, a taxa de variação do ângulo. Para isso, vamos relacionar as derivadas de
e
com
.
Sabemos que em coordenadas polares:
Passo 5
Vamos derivar
e
em relação ao tempo
:
Sabemos que
, então substituindo:
Isolando
:
Passo 6
Encontramos que:
Isso significa que o ângulo
está diminuindo ao longo do tempo, ou seja, o ponto está se movendo no sentido horário.
Resposta
O móvel está se deslocando na circunferência no sentido horário.
Exercícios relacionados
Calcule o valor de seno, cosseno e tangente dos seguintes ângulos:
Se
é um subconjunto aberto de
, para
, mostre que
Sabendo que sen
e que
é um ângulo do
quadrante, calcule:
e
.
Encontre a equação da reta tangente ao gráfico das seguintes funções no ponto
especificado, se existir:
(b) .
(b)