Um ponto móvel desloca-se ao longo da circunferência , com uma velocidade cuja componente em é dada por . Calcule . Sendo o deslocamento angular do móvel, medida a partir do ponto no sentido anti-horário, calcule . Este móvel desloca-se na circunferência no sentido horário ou anti-horário?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um ponto que se move na circunferência definida por . A velocidade desse ponto tem uma componente em dada por . Nosso objetivo é descobrir duas coisas:
  1. Calcular , que é a taxa de variação de em relação ao tempo.
  2. Calcular , que é a taxa de variação do deslocamento angular em relação ao tempo, considerando que é medido a partir do ponto no sentido anti-horário.
  3. Determinar se o móvel está se movendo no sentido horário ou anti-horário.
Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo, especialmente derivadas, e um pouco de geometria das circunferências.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a circunferência está definida por . Isso significa que qualquer ponto nesse caminho sempre satisfaz essa equação.
Como temos , queremos encontrar . Para isso, vamos diferenciar a equação da circunferência em relação ao tempo .
Vamos lá:
O que nos dá:

Passo 3

Agora, vamos isolar :
Dividindo ambos os lados por :
Sabemos que , então substituímos:

Passo 4

Então, encontramos que:
Isso nos mostra que a taxa de variação de depende diretamente da coordenada do ponto.
Agora, vamos calcular , a taxa de variação do ângulo. Para isso, vamos relacionar as derivadas de e com .
Sabemos que em coordenadas polares:

Passo 5

Vamos derivar e em relação ao tempo :
Sabemos que , então substituindo:
Isolando :

Passo 6

Encontramos que:
Isso significa que o ângulo está diminuindo ao longo do tempo, ou seja, o ponto está se movendo no sentido horário.

Resposta

O móvel está se deslocando na circunferência no sentido horário.

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é
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(b) .