Mostre que toda coleção de abertos não-vazios, dois a dois disjuntos é enumerável.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Queremos mostrar que qualquer coleção de conjuntos abertos que não são vazios e que são dois a dois disjuntos é enumerável. Isso significa que podemos listar todos esses conjuntos de forma que cada um tenha uma posição específica na lista, como os números naturais (1, 2, 3, …).
Nesse problema, vamos precisar entender conceitos de topologia, especificamente sobre conjuntos abertos e o que significa uma coleção ser enumerável.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre conjuntos abertos. Em topologia, um conjunto aberto é aquele que, em um determinado espaço, não inclui suas “fronteiras”. Por exemplo, no espaço dos números reais, o intervalo aberto (0,1) não inclui os pontos 0 e 1.
Agora, uma coleção de conjuntos é chamada de dois a dois disjuntos se nenhum par de conjuntos na coleção compartilha elementos em comum. Ou seja, se você pegar qualquer dois conjuntos da coleção, eles não têm nenhum elemento que seja comum a ambos.
Passo 3
O próximo conceito importante é o de uma coleção ser enumerável. Uma coleção é enumerável se podemos associá-la um-a-um com os números naturais. Isso significa que podemos listar os elementos da coleção de forma que cada elemento tenha um número natural correspondente.
Passo 4
Para mostrar que a coleção de conjuntos abertos não-vazios e dois a dois disjuntos é enumerável, vamos usar a ideia de que em espaços com uma base contável, isso é, um conjunto de conjuntos abertos que pode ser numerado, qualquer coleção de conjuntos abertos disjuntos não pode ser maior que a base.
Cada conjunto aberto na nossa coleção disjunta deve conter pelo menos um elemento da base contável. Como os conjuntos são disjuntos, cada elemento da base só pode estar em um único conjunto aberto da coleção. Portanto, não podemos ter mais conjuntos abertos na coleção do que elementos na base, o que significa que a coleção é enumerável.
Resposta
Assim, concluímos que toda coleção de conjuntos abertos não-vazios, dois a dois disjuntos, é enumerável.
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(PUC) Se
, com x no primeiro quadrante, calcular
e
.
Calcule o valor de seno, cosseno e tangente dos seguintes ângulos:
Se
é um subconjunto aberto de
, para
, mostre que