Ainda com A=(2,-1) e B=(5,1), o ponto P tem abcissa x e A P é perpendicular a AB. Qual é a ordenada de P?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois pontos e . Queremos encontrar a ordenada do ponto que tem abscissa , de modo que o segmento seja perpendicular a . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente de inclinação de retas e perpendicularidade.

Passo 2

Vamos começar calculando a inclinação (coeficiente angular) da reta mAB = y2 - y1x2 - x1 . A inclinação entre dois pontos mAB = 1 - (-1)5 - 2 = 23 e é dada por:
Substituindo os valores de e :

Passo 3

Sabemos que duas retas são perpendiculares se o produto de suas inclinações for mAP times mAB = -1 mAP times 23 = -1 mAP = -32 . Portanto, a inclinação da reta , denotada por , deve satisfazer:

Passo 4

Agora, vamos usar a inclinação da reta mAP = yP - yAxP - xA para encontrar a ordenada de -32 = yP - (-1)x - 2 -32 = yP + 1x - 2 . A inclinação também pode ser expressa como:
Sabemos que e , então:

Passo 5

Agora, resolvemos para yP + 1 = -32(x - 2) yP = -32(x - 2) - 1 :
yP = -32x + 3 - 1 yP = -32x + 2
Simplificando:

Resposta

A ordenada de é .

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