Comidere as retas e ene . Emcontre a equacéo geval do plano que contern essas deras setas e ache una base ortonor mal para este plano. Complete esta baxe ortonormal de .
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos duas retas no espaço tridimensional :
A primeira reta é dada por .
A segunda reta é dada por .
O conteúdo envolvido aqui é Geometria Analítica e mais especificamente, planos e retas no espaço. Para resolver esse problema, vamos precisar entender como determinar a equação de um plano que contém duas retas, encontrar uma base ortonormal para esse plano e depois completar essa base para todo o espaço .
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a equação geral do plano que contém as duas retas dadas. Para isso, precisamos garantir que as duas retas estão no mesmo plano. Isso significa que os vetores diretores das retas devem ser lineares independentes e que existe um ponto comum ou a combinação dos pontos das retas está no plano.
A primeira reta passa pela origem e tem o vetor diretor . A segunda reta passa pelo ponto e tem o vetor diretor .
Passo 3
Para que as duas retas estejam no mesmo plano, o vetor que liga um ponto de uma reta a um ponto da outra também deve estar no plano. Vamos considerar o vetor que liga a origem da primeira reta ao ponto da segunda reta, que é .
Agora, os vetores , e devem ser coplanares. Para verificar isso, podemos calcular o determinante formado por esses vetores e igualar a zero:
Então, o valor de mu que garante que as duas retas estão no mesmo plano é mu = 4.
Passo 5
Agora que sabemos que mu = 4, podemos escrever novamente os vetores diretores:
v1 = (1, 2, -3)
v2 = (2, 4, -6)
Percebemos que v2 é um múltiplo de v1 (de fato, v2 = 2v1), o que significa que as duas retas são paralelas. Portanto, qualquer plano que contenha uma das retas e o ponto da outra reta estará correto.
Passo 6
Vamos encontrar uma equação do plano. Sabemos que o plano deve conter a reta (x, y, z) = t(1, 2, -3), ou seja, passa pela origem e tem vetor diretor v1 = (1, 2, -3), e também contém o ponto (0, 1, 2).
Para encontrar a equação do plano, precisamos de um vetor normal ao plano. Como as retas são paralelas, podemos usar o vetor w = (0, 1, 2) que liga a origem ao ponto (0, 1, 2) e o vetor diretor v1.
O vetor normal n ao plano pode ser encontrado pelo produto vetorial de v1 e w:
Com o vetor normal n = (7, -2, 1) e sabendo que o plano passa pela origem (0,0,0), a equação geral do plano é dada por:
7x - 2y + z = 0
Passo 8
Agora, vamos encontrar uma base ortonormal para este plano. Primeiro, precisamos de dois vetores que sejam ortogonais entre si e que pertençam ao plano.
Como já temos o vetor diretor v1 = (1, 2, -3), vamos normalizá-lo para obter um vetor unitário:
Agora, precisamos de um segundo vetor no plano que seja perpendicular a u1. Podemos escolher o vetor w = (0, 1, 2) que ligou os pontos anteriormente. Vamos ortogonalizá-lo em relação a u1 usando o método de Gram-Schmidt.
Primeiro, projetamos w em u1:
proju1 w = ( w cdot u1u1 cdot u1 ) u1 = (w cdot u1) u1
Por fim, para completar a base ortonormal de R^3, precisamos de um terceiro vetor que seja ortogonal a ambos u1 e e2. Podemos encontrar esse vetor usando o produto vetorial entre u1 e e2:
e3 = u1 times e2
Calculando o produto vetorial:
e3 = i & j & k 1raiz14 & 2raiz14 & -3raiz14 23 raiz21 & 113 raiz21 & 83 raiz21
Após calcular, normalizamos e3 para obter um vetor unitário.
Resposta
A equação geral do plano que contém as duas retas é 7x - 2y + z = 0. Uma base ortonormal para este plano é formada pelos vetores ( 1raiz14, 2raiz14, -3raiz14 ) e ( 23 raiz21, 113 raiz21, 83 raiz21 ). Completando, uma base ortonormal para R^3 é formada por esses dois vetores mais e3 = u1 times e2 devidamente normalizado.