Dados A=(2,5) e C=(-8,2), calcule os cossenos dos ângulos O widehatA C e O widehatC A.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois pontos no plano cartesiano: A=(2,5) e C=(-8,2). A tarefa é descobrir o cosseno dos ângulos O widehatA C e O widehatC A. Isso envolve geometria analítica, especialmente usando a fórmula do cosseno para ângulos entre vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o ângulo O widehatA C. Esse é o ângulo formado no ponto A entre os vetores OA e AC. O mesmo vale para O widehatC A, que é o ângulo no ponto C entre OC e CA.

Passo 3

Vamos começar encontrando as coordenadas dos vetores envolvidos. O ponto O é a origem, então suas coordenadas são (0,0). Temos:
  • Vetor OA = A - O = (2-0, 5-0) = (2,5)
  • Vetor OC = C - O = (-8-0, 2-0) = (-8,2)
  • Vetor AC = C - A = (-8-2, 2-5) = (-10,-3)

Passo 4

Agora, precisamos calcular o comprimento de cada um desses vetores, que é a distância entre os pontos. A fórmula para o comprimento de um vetor V=(x,y) é:
|V| = raizx^2 + y^2
Vamos calcular:
  • |OA| = raiz2^2 + 5^2 = raiz4 + 25 = raiz29
  • |OC| = raiz(-8)^2 + 2^2 = raiz64 + 4 = raiz68
  • |AC| = raiz(-10)^2 + (-3)^2 = raiz100 + 9 = raiz109

Passo 5

Para encontrar o cosseno do ângulo entre dois vetores, usamos a fórmula do produto escalar:
cos(theta) = U cdot V|U||V|
Onde U cdot V é o produto escalar dos vetores U e V, calculado como:
U cdot V = xU xV + yU yV

Passo 6

Vamos calcular cos(ang<= OAC), que é o cosseno do ângulo entre OA e AC:
  • Produto escalar OA cdot AC = (2)(-10) + (5)(-3) = -20 -15 = -35
  • Comprimentos: |OA| = raiz29 e |AC| = raiz109
    Então:
cos(ang<= OAC) = -35raiz29 times raiz109 = -35raiz2901 approx -0,651

Passo 7

Agora, vamos calcular cos(ang<= OCA), o cosseno do ângulo entre OC e CA. Primeiro, note que CA = -AC, então:
  • Produto escalar OC cdot CA = (-8)(-10) + (2)(-3) = 80 -6 = 74
  • Comprimentos: |OC| = raiz68 e |CA| = raiz109
    Então:
cos(ang<= OCA) = 74raiz68 times raiz109 = 74raiz7412 approx 0,857

Resposta

O cosseno do ângulo O widehatA C é aproximadamente -0,651 e o cosseno do ângulo O widehatC A é aproximadamente 0,857.

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