Dados
e
, calcule os cossenos dos ângulos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois pontos no plano cartesiano:
e
. A tarefa é descobrir o cosseno dos ângulos
e
. Isso envolve geometria analítica, especialmente usando a fórmula do cosseno para ângulos entre vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o ângulo
. Esse é o ângulo formado no ponto
entre os vetores
e
. O mesmo vale para
, que é o ângulo no ponto
entre
e
.
Passo 3
Vamos começar encontrando as coordenadas dos vetores envolvidos. O ponto
é a origem, então suas coordenadas são
. Temos:
- Vetor
- Vetor
- Vetor
Passo 4
Agora, precisamos calcular o comprimento de cada um desses vetores, que é a distância entre os pontos. A fórmula para o comprimento de um vetor
é:
Vamos calcular:
Passo 5
Para encontrar o cosseno do ângulo entre dois vetores, usamos a fórmula do produto escalar:
Onde
é o produto escalar dos vetores
e
, calculado como:
Passo 6
Vamos calcular
, que é o cosseno do ângulo entre
e
:
- Produto escalar
- Comprimentos:
e
Então:
Passo 7
Agora, vamos calcular
, o cosseno do ângulo entre
e
. Primeiro, note que
, então:
- Produto escalar
- Comprimentos:
e
Então:
Resposta
O cosseno do ângulo
é aproximadamente
e o cosseno do ângulo
é aproximadamente
.