Ainda com dois pontos A e B distintos, justifique que o segmento A B, incluindo os extremos, é o conjunto P=A+lambda(B-A) mid 0 <= lambda <= 1.
De fato, P in A B se, e só se, A P tem mesma direção e sentido de A B e comprimento 0 <=|A P| <= 1, donde A P=lambda A B, com 0 <= lambda <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem dois pontos diferentes, e , e queremos mostrar que o segmento de reta que liga a (incluindo os próprios pontos e ) é exatamente o conjunto de todos os pontos que podem ser escritos como , onde está entre 0 e 1. Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores e segmentos de reta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Aqui, é o vetor que vai de para . Multiplicando esse vetor por , que está entre 0 e 1, a gente está “esticando” ou “encurtando” esse vetor. Quando , fica exatamente em , e quando , fica exatamente em . Para valores de entre 0 e 1, fica em algum lugar entre e .

Passo 3

Agora, vamos mostrar que todo ponto que está no segmento pode ser escrito dessa forma. Se está no segmento , isso significa que a direção e o sentido do vetor são os mesmos de , e o comprimento de é até o comprimento de . Portanto, podemos escrever , onde .

Passo 4

Substituindo AP = lambda (B - A) por P - A = lambda (B - A) , temos:
P = A + lambda (B - A)
Sabemos que , então:
Agora, basta resolver para :
Isso mostra que qualquer ponto no segmento pode ser escrito dessa maneira.

Passo 5

Por outro lado, se pegarmos qualquer entre 0 e 1 e calcularmos , veremos que estará no segmento . Quando , . Quando , . E para valores entre 0 e 1, fica entre e .

Resposta

Portanto, o segmento , incluindo os pontos e , é exatamente o conjunto .

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