Sejam A=(1,0), u=(2,1) e v=(1,3). Determine (t, s) tal que (5,-2)=A+t u+s v.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um ponto A = (1, 0) e dois vetores u = (2, 1) e v = (1, 3). A questão quer que encontremos os valores de t e s tais que, ao somarmos A com t vezes u e s vezes v, obtenhamos o ponto (5, -2). Para resolver isso, vamos usar a ideia de combinação linear de vetores, que envolve montar e resolver um sistema de equações.

Passo 2

Vamos escrever a equação dada de forma matemática:
(5, -2) = A + tu + sv
Substituindo os valores de A, u e v, temos:
(5, -2) = (1, 0) + t(2, 1) + s(1, 3)

Passo 3

Agora, vamos distribuir os valores de t e s dentro dos vetores:
(5, -2) = (1, 0) + (2t, t) + (s, 3s)

Passo 4

Em seguida, somamos as componentes correspondentes dos vetores:
(5, -2) = (1 + 2t + s, 0 + t + 3s)

Passo 5

Agora, igualamos as componentes de cada lado da equação para formar um sistema de duas equações:
1 + 2t + s = 5 t + 3s = -2

Passo 6

Vamos resolver o sistema. Primeiro, podemos simplificar a primeira equação subtraindo 1 de ambos os lados:
2t + s = 4
Então, temos:
2t + s = 4 t + 3s = -2

Passo 7

Agora, vamos resolver uma das equações para uma das variáveis. Vamos isolar t na segunda equação:
t = -2 - 3s

Passo 8

Substituímos o valor de t encontrado na primeira equação:
2(-2 - 3s) + s = 4

Passo 9

Distribuímos o 2:
-4 - 6s + s = 4
Simplificamos os termos:
-4 - 5s = 4

Passo 10

Agora, isolamos s:
-5s = 4 + 4
-5s = 8
s = -85

Passo 11

Com o valor de s, voltamos à expressão que encontramos para t:
t = -2 - 3(-85)
t = -2 + 245
t = -10 + 245
t = 145

Resposta

Os valores são t = dfrac145 e s = -dfrac85.

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