Mostre que se u, v, w él.i., então qualquer subconjunto com dois desses vetores él.i.
SugESTÃo: Mostre por contradição, utilizando o resultado anterior.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que se o conjunto de três vetores u, v, w é linearmente independente, então qualquer par desses vetores também é linearmente independente. Para resolver isso, vamos usar o conceito de independência linear e a técnica de prova por contradição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que dá o vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, para u, v, w ser independente, a equação
au + bv + cw = 0
só tem a solução a = b = c = 0.

Passo 3

Agora, vamos supor, para chegar a uma contradição, que existe um par de vetores, digamos u, v, que não é linearmente independente. Isso quer dizer que existe alguma combinação não trivial que dá o vetor zero:
au + bv = 0
onde pelo menos um dos coeficientes a ou b é diferente de zero.

Passo 4

Se isso acontecesse, poderíamos expressar um dos vetores em função do outro. Por exemplo, se b neq 0, poderíamos escrever v = -abu. Isso significa que v é múltiplo de u, ou seja, os vetores u e v são linearmente dependentes.

Passo 5

Agora, vamos considerar o conjunto original u, v, w. Se v é múltiplo de u, então podemos reescrever a combinação linear original como:
au + bv + cw = au + b(-abu) + cw = (a - a)u + cw = cw = 0
Para que isso seja verdade, precisaríamos que c = 0. Mas, inicialmente, supomos que a ou b eram diferentes de zero, o que contraria a independência linear do conjunto u, v, w.

Passo 6

Essa contradição mostra que nossa suposição estava errada. Portanto, qualquer par de vetores dentro de u, v, w deve ser linearmente independente.

Resposta

Assim, concluímos que se u, v, w é linearmente independente, então qualquer subconjunto com dois desses vetores também é linearmente independente.

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