Mostre que se
él.i., então qualquer subconjunto com dois desses vetores él.i.
SugESTÃo: Mostre por contradição, utilizando o resultado anterior.
SugESTÃo: Mostre por contradição, utilizando o resultado anterior.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que se o conjunto de três vetores
é linearmente independente, então qualquer par desses vetores também é linearmente independente. Para resolver isso, vamos usar o conceito de independência linear e a técnica de prova por contradição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que dá o vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, para
ser independente, a equação
só tem a solução
.
Passo 3
Agora, vamos supor, para chegar a uma contradição, que existe um par de vetores, digamos
, que não é linearmente independente. Isso quer dizer que existe alguma combinação não trivial que dá o vetor zero:
onde pelo menos um dos coeficientes
ou
é diferente de zero.
Passo 4
Se isso acontecesse, poderíamos expressar um dos vetores em função do outro. Por exemplo, se
, poderíamos escrever
. Isso significa que
é múltiplo de
, ou seja, os vetores
e
são linearmente dependentes.
Passo 5
Agora, vamos considerar o conjunto original
. Se
é múltiplo de
, então podemos reescrever a combinação linear original como:
Para que isso seja verdade, precisaríamos que
. Mas, inicialmente, supomos que
ou
eram diferentes de zero, o que contraria a independência linear do conjunto
.
Passo 6
Essa contradição mostra que nossa suposição estava errada. Portanto, qualquer par de vetores dentro de
deve ser linearmente independente.
Resposta
Assim, concluímos que se
é linearmente independente, então qualquer subconjunto com dois desses vetores também é linearmente independente.