Quais dos seguintes conjuntos W abaixo são subespaços do R^3.
a) W=(x, y, z) in R^3 ; x+y+z=0.
b) W=(x, y, z) in R^3 ; x+y-z=0.
c) W=(x, y, z) in R^3 ; x-3 z=0.
d) W=(x, y, z) in R^3 ; y é irracional .
e) W=(x, y, z) in R^3 ; x+y+z=0 e x-y-z=0.
f) W=(x, y, z) in R^3 ; x y=0.
g) W=(x, y, z) in R^3 ; x+y=1.
h) W=(x, y, z) in R^3 ; y=2 x e z=3 x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para verificar quais dos conjuntos listados são subespaços de . Isso tá ligado ao conteúdo de álgebra linear, especificamente ao conceito de subespaço vetorial. Para determinar se um conjunto é um subespaço, a gente precisa verificar três coisas:
  1. Contém o vetor zero ( ).
  2. É fechado sob adição, ou seja, se você pegar dois vetores do conjunto e somar, o resultado também está no conjunto.
  3. É fechado sob multiplicação por escalar, ou seja, se você multiplicar um vetor do conjunto por qualquer número real, o resultado também está no conjunto.
Vamos analisar cada parte (a) até (h) passo a passo.

Passo 2

Parte a) (x1 + x2) + (y1 + y2) + (z1 + z2) = (x1 + y1 + z1) + (x2 + y2 + z2) = 0 + 0 = 0

  1. Contém o vetor zero?
    • Se c x + c y + c z = c (x + y + z) = c cdot 0 = 0 , então . Então, sim, contém o vetor zero.
  2. Fechado sob adição?
    • Se e estão em , então: Então, a soma também está em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar?
    • Se é um escalar real e está em , então: Então, o vetor escalado também está em .
Conclusão: é um subespaço de .

Passo 3

Parte b) (x1 + x2) + (y1 + y2) - (z1 + z2) = (x1 + y1 - z1) + (x2 + y2 - z2) = 0 + 0 = 0

  1. Contém o vetor zero?
    • Se c x + c y - c z = c (x + y - z) = c cdot 0 = 0 , então . Sim, contém o vetor zero.
  2. Fechado sob adição?
    • Para e em : Logo, a soma está em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar?
    • Para um escalar : Assim, o vetor escalado está em .
Conclusão: é um subespaço de .

Passo 4

Parte c) (x1 + x2) - 3(z1 + z2) = (x1 - 3z1) + (x2 - 3z2) = 0 + 0 = 0

  1. Contém o vetor zero?
    • Se c x - 3c z = c (x - 3z) = c cdot 0 = 0 , então . Sim, contém o vetor zero.
  2. Fechado sob adição?
    • Para e em : Logo, a soma está em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar?
    • Para um escalar : Assim, o vetor escalado está em .
Conclusão: é um subespaço de .

Passo 5

Parte d) é

  1. Contém o vetor zero?
    • O vetor zero é . Aqui, , que é um número racional. Então, o vetor zero não está em .
Conclusão: Já falhou na primeira condição. não é um subespaço de .

Passo 6

Parte e) 2x = 0 Rightarrow x = 0

Vamos resolver o sistema de equações para ver quais vetores pertencem a 0 + y + z = 0 Rightarrow y = -z :
  1. (0 + 0, y1 + y2, -y1 - y2) = (0, y1 + y2, -(y1 + y2))
  2. (0, c y, -c y) = (0, c y, -c y)
Somando as duas equações:
Substituindo na primeira equação:
Então, os vetores em têm a forma .
  1. Contém o vetor zero?
    • Se , então está em . Sim.
  2. Fechado sob adição?
    • Para e : Está na forma . Sim.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar?
    • Para um escalar : Está na forma . Sim.
Conclusão: é um subespaço de .

Passo 7

Parte f)

  1. Contém o vetor zero?
    • está em porque . Sim.
  2. Fechado sob adição?
    • Vamos testar com dois vetores em :
      • e .
      • .
      • Verificando de : .
      • Então, a soma não está em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar?
    • Não precisamos verificar, pois já falhou na adição.
Conclusão: não é um subespaço de .

Passo 8

Parte g)

  1. Contém o vetor zero?
    • Se , então para o vetor zero , temos . Não contém o vetor zero.
Conclusão: Já não contém o vetor zero. não é um subespaço de .

Passo 9

Parte h) (x1 + x2, 2x1 + 2x2, 3x1 + 3x2) = (x1 + x2, 2(x1 + x2), 3(x1 + x2))

Aqui, os vetores em (c x, 2c x, 3c x) = c (x, 2x, 3x) têm a forma .
  1. Contém o vetor zero?
    • Se , então está em . Sim.
  2. Fechado sob adição?
    • Para e : Está na forma . Sim.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar?
    • Para um escalar : Está na forma . Sim.
Conclusão: é um subespaço de .

Resposta

Os conjuntos que são subespaços de são:
  • a)
  • b)
  • c)
  • e)
  • h)
Os conjuntos d), f) e g) não são subespaços de .

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