Quais dos seguintes conjuntos
abaixo são subespaços do
.
a)
.
b)
.
c)
.
d)
é irracional
.
e)
e
.
f)
.
g)
.
h)
e
.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para verificar quais dos conjuntos
listados são subespaços de
. Isso tá ligado ao conteúdo de álgebra linear, especificamente ao conceito de subespaço vetorial. Para determinar se um conjunto é um subespaço, a gente precisa verificar três coisas:
- Contém o vetor zero (
). - É fechado sob adição, ou seja, se você pegar dois vetores do conjunto e somar, o resultado também está no conjunto.
- É fechado sob multiplicação por escalar, ou seja, se você multiplicar um vetor do conjunto por qualquer número real, o resultado também está no conjunto.
Vamos analisar cada parte (a) até (h) passo a passo.
Passo 2
Parte a)
- Contém o vetor zero?
- Se
, então . Então, sim, contém o vetor zero.
- Se
- Fechado sob adição?
- Se
e estão em , então: Então, a soma também está em .
- Se
- Fechado sob multiplicação por escalar?
- Se
é um escalar real e está em , então: Então, o vetor escalado também está em .
- Se
Conclusão:
é um subespaço de
.
Passo 3
Parte b)
- Contém o vetor zero?
- Se
, então . Sim, contém o vetor zero.
- Se
- Fechado sob adição?
- Para
e em : Logo, a soma está em .
- Para
- Fechado sob multiplicação por escalar?
- Para um escalar
: Assim, o vetor escalado está em .
- Para um escalar
Conclusão:
é um subespaço de
.
Passo 4
Parte c)
- Contém o vetor zero?
- Se
, então . Sim, contém o vetor zero.
- Se
- Fechado sob adição?
- Para
e em : Logo, a soma está em .
- Para
- Fechado sob multiplicação por escalar?
- Para um escalar
: Assim, o vetor escalado está em .
- Para um escalar
Conclusão:
é um subespaço de
.
Passo 5
Parte d)
- Contém o vetor zero?
- O vetor zero é
. Aqui, , que é um número racional. Então, o vetor zero não está em .
- O vetor zero é
Conclusão: Já falhou na primeira condição.
não é um subespaço de
.
Passo 6
Parte e)
Vamos resolver o sistema de equações para ver quais vetores pertencem a
:
Somando as duas equações:
Substituindo
na primeira equação:
Então, os vetores em
têm a forma
.
- Contém o vetor zero?
- Se
, então está em . Sim.
- Se
- Fechado sob adição?
- Para
e : Está na forma . Sim.
- Para
- Fechado sob multiplicação por escalar?
- Para um escalar
: Está na forma . Sim.
- Para um escalar
Conclusão:
é um subespaço de
.
Passo 7
Parte f)
- Contém o vetor zero?
-
está em porque . Sim.
-
- Fechado sob adição?
- Vamos testar com dois vetores em
: -
e . -
. - Verificando
de : . - Então, a soma não está em
.
-
- Vamos testar com dois vetores em
- Fechado sob multiplicação por escalar?
- Não precisamos verificar, pois já falhou na adição.
Conclusão:
não é um subespaço de
.
Passo 8
Parte g)
- Contém o vetor zero?
- Se
, então para o vetor zero , temos . Não contém o vetor zero.
- Se
Conclusão: Já não contém o vetor zero.
não é um subespaço de
.
Passo 9
Parte h)
Aqui, os vetores em
têm a forma
.
- Contém o vetor zero?
- Se
, então está em . Sim.
- Se
- Fechado sob adição?
- Para
e : Está na forma . Sim.
- Para
- Fechado sob multiplicação por escalar?
- Para um escalar
: Está na forma . Sim.
- Para um escalar
Conclusão:
é um subespaço de
.
Resposta
Os conjuntos que são subespaços de
são:
- a)
- b)
- c)
- e)
- h)
Os conjuntos d), f) e g) não são subespaços de
.