Ainda utilizando substituição de variáveis, calcule as seguintes integrais definidas: integral0^pi sec ^2(y4) d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Esse problema está dentro da área de Cálculo Integral, especificamente envolvendo técnicas de substituição de variáveis. Para resolver, vamos precisar lembrar como funciona a substituição e a integral da função .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a integral de em relação a é , onde é a constante de integração. Isso é uma regra básica de integrais que usamos com frequência.

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir uma nova variável u = y4 que será igual a dudy = 14 implies dy = 4,du :
Então, precisamos encontrar a derivada de em relação a para substituir :

Passo 4

Também precisamos mudar os limites de integração de u = 04 = 0 para u = pi4 :
  • Quando :
  • Quando :

Passo 5

Substituindo tudo na integral original:
integral0^pi sec^2(y4) dy = integral0^pi4 sec^2(u) cdot 4,du = 4 integral0^pi4 sec^2(u) du

Passo 6

Agora, integramos 4 integral0^pi4 sec^2(u) du = 4 [ tan(u) ]0^pi4 = 4 ( tan(pi4) - tan(0) ) :

Passo 7

Sabemos que 4 (1 - 0) = 4 cdot 1 = 4 e . Substituindo esses valores:

Resposta

O valor da integral definida é .

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