Dada a função . Determine as Assíntotas Vertical e Horizontal, se existirem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício juntos! A gente tem a função e precisa encontrar as assíntotas verticais e horizontais dela, se existirem. Para isso, vamos usar conceitos de limites e entender onde a função pode ter comportamentos especiais.

Passo 2

Primeiro, vamos procurar as assíntotas verticais. Essas acontecem nos pontos onde a função “bora” para o infinito, ou seja, onde o denominador se aproxima de zero e o numerador não é zero.
Então, precisamos resolver .
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por :
Agora, aplicando o logaritmo natural:
Então, a função pode ter uma assíntota vertical em .

Passo 3

Agora, vamos confirmar se de fato há uma assíntota vertical em . Para isso, analisamos os limites quando se aproxima de 0 pela direita e pela esquerda.
  • Quando se aproxima de 0 pela direita ( ):
  • Quando se aproxima de 0 pela esquerda ( ):
Como os limites tendem para e respectivamente, confirma que há uma assíntota vertical em .

Passo 4

Agora, vamos encontrar as assíntotas horizontais, que são os valores que se aproxima quando vai para ou .
  • Quando :
Então, é uma assíntota horizontal quando .
  • Quando :
Novamente, é uma assíntota horizontal quando .

Resposta

A função possui uma assíntota vertical em e uma assíntota horizontal em .

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