Dada a função
. Determine as Assíntotas Vertical e Horizontal, se existirem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício juntos! A gente tem a função
e precisa encontrar as assíntotas verticais e horizontais dela, se existirem. Para isso, vamos usar conceitos de limites e entender onde a função pode ter comportamentos especiais.
Passo 2
Primeiro, vamos procurar as assíntotas verticais. Essas acontecem nos pontos onde a função “bora” para o infinito, ou seja, onde o denominador se aproxima de zero e o numerador não é zero.
Então, precisamos resolver
.
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por
:
Agora, aplicando o logaritmo natural:
Então, a função pode ter uma assíntota vertical em
.
Passo 3
Agora, vamos confirmar se de fato há uma assíntota vertical em
. Para isso, analisamos os limites quando
se aproxima de 0 pela direita e pela esquerda.
- Quando
se aproxima de 0 pela direita ( ):
- Quando
se aproxima de 0 pela esquerda ( ):
Como os limites tendem para
e
respectivamente, confirma que há uma assíntota vertical em
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar as assíntotas horizontais, que são os valores que
se aproxima quando
vai para
ou
.
- Quando
:
Então,
é uma assíntota horizontal quando
.
- Quando
:
Novamente,
é uma assíntota horizontal quando
.
Resposta
A função
possui uma assíntota vertical em
e uma assíntota horizontal em
.
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Determinar, através da definição de continuidade, todos os valores de x para os quais a função
não é contínua.
Determinar, através da definição, a continuidade ou descontinuidade (em
) da função:
Ainda utilizando substituição de variáveis, calcule as seguintes integrais definidas:
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