Ainda utilizando substituição de variáveis, calcule as seguintes integrais definidas: integral1^2 e^1xx^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida de . A matéria que vamos usar aqui é cálculo integral, especificamente a técnica de substituição de variáveis. Para isso, vamos precisar identificar uma parte da função que podemos substituir por uma nova variável, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a integral. Observando a função e o denominador , uma boa escolha é deixar . Isso porque a derivada de em relação a vai se relacionar com o presente na função.

Passo 3

Vamos derivar dudx = -1x^2 em relação a du = -1x^2 dx :
-du = 1x^2 dx
Isso significa que:
Ou seja:
Perceba que é exatamente o que temos na nossa integral, então podemos substituir.

Passo 4

Vamos substituir na integral:
integral1^2 e^1xx^2 , dx = integralu(1)^u(2) e^u cdot (-du)
Mas -integral1^12 e^u , du , então para os limites:
  • Quando ,
  • Quando ,
Então a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos inverter os limites de integração para eliminar o sinal negativo:
integral12^1 e^u , du

Passo 6

A integral de e^u |12^1 = e^1 - e^12 em relação a é simplesmente . Então, vamos calcular:

Resposta

A integral definida é igual a .

Exercícios relacionados