Ainda utilizando substituição de variáveis, calcule as seguintes integrais definidas: integral0^a t raiza^2+t^2 d t

Passo 1

Beleza, a gente tem que calcular a integral definida de multiplicado por , de até . Para resolver isso, vamos usar a técnica de substituição de variáveis, que ajuda a simplificar integrais complicadas transformando a variável de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que torne a integral mais fácil. Olhando para u = a^2 + t^2 , uma boa ideia é deixar essa parte simples. Vamos definir:
du = 2t , dt Rightarrow du2 = t , dt
Agora, precisamos derivar em relação a para encontrar :
Isso significa que pode ser substituído por .

Passo 3

Vamos também mudar os limites de integração de acordo com a substituição:
  • Quando u = a^2 + (0)^2 = a^2 :
u = a^2 + a^2 = 2a^2
  • Quando integral0^a t raiza^2 + t^2 , dt = integrala^2^2a^2 raizu cdot du2 :
Agora, nossa integral fica:

Passo 4

Simplificando a integral:
12 integrala^2^2a^2 u^1/2 , du
Agora, vamos integrar 12 cdot [ u^3/23/2 ]a^2^2a^2 = 12 cdot ( 23 u^3/2 )a^2^2a^2 = 13 [ u^3/2 ]a^2^2a^2 em relação a . A antiderivada de é , então:

Passo 5

Agora, substituímos os limites de integração:
13 [ (2a^2)^3/2 - (a^2)^3/2 ]
Calculando cada termo:
(2a^2)^3/2 = 2^3/2 cdot a^3 = 2raiz2 cdot a^3
(a^2)^3/2 = a^3
Então, substituindo de volta:
13 ( 2raiz2 cdot a^3 - a^3 ) = 13 a^3 (2raiz2 - 1)

Resposta

A integral definida é igual a:
a^33 ( 2raiz2 - 1 )

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