Ainda utilizando substituição de variáveis, calcule as seguintes integrais definidas:
Passo 1
Beleza, a gente tem que calcular a integral definida de
multiplicado por
, de
até
. Para resolver isso, vamos usar a técnica de substituição de variáveis, que ajuda a simplificar integrais complicadas transformando a variável de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma substituição que torne a integral mais fácil. Olhando para
, uma boa ideia é deixar essa parte simples. Vamos definir:
Agora, precisamos derivar
em relação a
para encontrar
:
Isso significa que
pode ser substituído por
.
Passo 3
Vamos também mudar os limites de integração de acordo com a substituição:
- Quando
:
- Quando
:
Agora, nossa integral fica:
Passo 4
Simplificando a integral:
Agora, vamos integrar
em relação a
. A antiderivada de
é
, então:
Passo 5
Agora, substituímos os limites de integração:
Calculando cada termo:
Então, substituindo de volta:
Resposta
A integral definida é igual a: