Decomponha as seguintes funções racionais como somas de frações parciais; não é necessário encontrar o valor dos coeficientes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função racional
e precisa decompor isso em frações parciais. Isso faz parte do conteúdo de frações parciais, que é usado para quebrar funções racionais em somas de frações mais simples. Para resolver, vamos precisar identificar os denominadores e preparar a estrutura das frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para os denominadores da fração original:
e
. Ambos são polinômios quadráticos que não podem ser fatorados mais (não têm raízes reais). Então, a decomposição geral para esses tipos de denominadores é:
Aqui,
,
,
e
são coeficientes que a gente precisaria encontrar se quisesse a decomposição completa, mas o exercício disse que não precisa achar esses valores agora.
Passo 3
Vamos igualar a decomposição à função original:
Isso significa que:
Passo 4
Para completar a decomposição, normalmente expandimos e igualamos os coeficientes dos termos correspondentes, mas como não precisamos achar
,
,
e
, já temos a estrutura final.
Resposta
A decomposição em frações parciais é:
Exercícios relacionados
Ainda utilizando substituição de variáveis, calcule as seguintes integrais definidas:
Ainda utilizando substituição de variáveis, calcule as seguintes integrais definidas:
Utilize frações parciais (ou outro método de integração, se possível) para integrar as funções racionais abaixo:
Calcule as seguintes integrais definidas e interprete graficamente: por que a soma dos resultados nos itens (a) e (b) é igual à área do retângulo de base 2 e altura 4?
(dica: sobreponha os gráficos de e de
e observe o que são as áreas calculadas em cada integral definida)
(dica: sobreponha os gráficos de