Decomponha as seguintes funções racionais como somas de frações parciais; não é necessário encontrar o valor dos coeficientes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função racional e precisa decompor isso em frações parciais. Isso faz parte do conteúdo de frações parciais, que é usado para quebrar funções racionais em somas de frações mais simples. Para resolver, vamos precisar identificar os denominadores e preparar a estrutura das frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para os denominadores da fração original: e . Ambos são polinômios quadráticos que não podem ser fatorados mais (não têm raízes reais). Então, a decomposição geral para esses tipos de denominadores é:
Aqui, , , e são coeficientes que a gente precisaria encontrar se quisesse a decomposição completa, mas o exercício disse que não precisa achar esses valores agora.

Passo 3

Vamos igualar a decomposição à função original:
Isso significa que:

Passo 4

Para completar a decomposição, normalmente expandimos e igualamos os coeficientes dos termos correspondentes, mas como não precisamos achar , , e , já temos a estrutura final.

Resposta

A decomposição em frações parciais é:

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Ainda utilizando substituição de variáveis, calcule as seguintes integrais definidas:
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Utilize frações parciais (ou outro método de integração, se possível) para integrar as funções racionais abaixo:
Calcule as seguintes integrais definidas e interprete graficamente: por que a soma dos resultados nos itens (a) e (b) é igual à área do retângulo de base 2 e altura 4?
(dica: sobreponha os gráficos de e de e observe o que são as áreas calculadas em cada integral definida)