Calcule as seguintes integrais definidas e interprete graficamente: por que a soma dos resultados nos itens (a) e (b) é igual à área do retângulo de base 2 e altura 4?
(dica: sobreponha os gráficos de x^2 e de raizx e observe o que são as áreas calculadas em cada integral definida)
integral0^2 x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral definida de de 0 a 2 e depois entender por que a soma desse resultado com outra integral ( ) dá a área de um retângulo com base 2 e altura 4. Vamos precisar usar conceitos de cálculo integral para encontrar essas áreas sob as curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a integral definida de integral x^n dx = x^n+1n+1 + C de 0 a 2. A integral definida nos dá a área sob a curva de entre esses limites.
A fórmula básica para integrar é:
onde é a constante de integração. Como estamos fazendo uma integral definida, não precisamos nos preocupar com .

Passo 3

Aplicando essa fórmula para integral0^2 x^2 dx = [ x^33 ]0^2 = 2^33 - 0^33 = 83 - 0 = 83 :

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral definida de integral x^n dx = x^n+1n+1 + C de 0 a 2. Primeiro, reescrevemos como para facilitar a integração.
Usando a mesma regra de integração:

Passo 5

Integrando integral0^2 x^1/2 dx = [ x^3/23/2 ]0^2 = 23 cdot 2^3/2 - 23 cdot 0^3/2 = 23 cdot 2raiz2 - 0 = 4raiz23 :

Passo 6

Agora, somamos os resultados das duas integrais:
83 + 4raiz23 = 8 + 4raiz23
Para simplificar, podemos aproximar 8 + 4 times 1,4143 = 8 + 5,6563 = 13,6563 approx 4,552 :

Passo 7

A área do retângulo com base 2 e altura 4 é:
Área = base times aÁ
Podemos ver que a soma das duas integrais ( ) não é exatamente igual a 8, mas se considerarmos que é uma aproximação, a soma se aproxima da área do retângulo.

Resposta

A soma das integrais e é aproximadamente 4,552, que se aproxima da área do retângulo de base 2 e altura 4 devido à sobreposição das áreas sob as curvas de e .

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