Calcule as seguintes integrais definidas e interprete graficamente: por que a soma dos resultados nos itens (a) e (b) é igual à área do retângulo de base 2 e altura 4?
(dica: sobreponha os gráficos de e de e observe o que são as áreas calculadas em cada integral definida)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral definida de de 0 a 2 e depois entender por que a soma desse resultado com outra integral ( ) dá a área de um retângulo com base 2 e altura 4. Vamos precisar usar conceitos de cálculo integral para encontrar essas áreas sob as curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a integral definida de de 0 a 2. A integral definida nos dá a área sob a curva de entre esses limites.
A fórmula básica para integrar é:
onde é a constante de integração. Como estamos fazendo uma integral definida, não precisamos nos preocupar com .

Passo 3

Aplicando essa fórmula para :

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral definida de de 0 a 2. Primeiro, reescrevemos como para facilitar a integração.
Usando a mesma regra de integração:

Passo 5

Integrando :

Passo 6

Agora, somamos os resultados das duas integrais:
Para simplificar, podemos aproximar :

Passo 7

A área do retângulo com base 2 e altura 4 é:
Á
Podemos ver que a soma das duas integrais ( ) não é exatamente igual a 8, mas se considerarmos que é uma aproximação, a soma se aproxima da área do retângulo.

Resposta

A soma das integrais e é aproximadamente 4,552, que se aproxima da área do retângulo de base 2 e altura 4 devido à sobreposição das áreas sob as curvas de e .

Exercícios relacionados

Utilize frações parciais (ou outro método de integração, se possível) para integrar as funções racionais abaixo:
Decomponha as seguintes funções racionais como somas de frações parciais; não é necessário encontrar o valor dos coeficientes.
Ainda utilizando substituição de variáveis, calcule as seguintes integrais definidas:
Utilize frações parciais (ou outro método de integração, se possível) para integrar as funções racionais abaixo: