Calcule as seguintes integrais definidas e interprete graficamente: por que a soma dos resultados nos itens (a) e (b) é igual à área do retângulo de base 2 e altura 4?
(dica: sobreponha os gráficos de
e de
e observe o que são as áreas calculadas em cada integral definida)
(dica: sobreponha os gráficos de
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral definida de
de 0 a 2 e depois entender por que a soma desse resultado com outra integral (
) dá a área de um retângulo com base 2 e altura 4. Vamos precisar usar conceitos de cálculo integral para encontrar essas áreas sob as curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a integral definida de
de 0 a 2. A integral definida nos dá a área sob a curva de
entre esses limites.
A fórmula básica para integrar
é:
onde
é a constante de integração. Como estamos fazendo uma integral definida, não precisamos nos preocupar com
.
Passo 3
Aplicando essa fórmula para
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral definida de
de 0 a 2. Primeiro, reescrevemos
como
para facilitar a integração.
Usando a mesma regra de integração:
Passo 5
Integrando
:
Passo 6
Agora, somamos os resultados das duas integrais:
Para simplificar, podemos aproximar
:
Passo 7
A área do retângulo com base 2 e altura 4 é:
Podemos ver que a soma das duas integrais (
) não é exatamente igual a 8, mas se considerarmos que
é uma aproximação, a soma se aproxima da área do retângulo.
Resposta
A soma das integrais
e
é aproximadamente 4,552, que se aproxima da área do retângulo de base 2 e altura 4 devido à sobreposição das áreas sob as curvas de
e
.
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