Utilize frações parciais (ou outro método de integração, se possível) para integrar as funções racionais abaixo:

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo e qual o conteúdo que vamos utilizar. A questão pede para integrar a função racional em relação a . Para resolver isso, vamos usar o método de frações parciais, que é uma técnica para decompor funções racionais em frações mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, precisamos fatorar o denominador da fração para facilitar a decomposição em frações parciais. Vamos fatorar o polinômio .
Para fatorar , procuramos dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e .
Portanto:

Passo 3

Agora que fatoramos o denominador, podemos expressar a fração original como uma soma de frações parciais. Vamos escrever:
onde e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Para encontrar os valores de e , multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum :
Agora, escolhemos valores de que simplificam a equação:
  • Se :
  • Se :

Passo 5

Agora que encontramos e , substituímos de volta na expressão de frações parciais:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Integrando termo a termo:
Sabemos que , então:
onde é a constante de integração.

Resposta

A integral de em relação a é:

Exercícios relacionados

Decomponha as seguintes funções racionais como somas de frações parciais; não é necessário encontrar o valor dos coeficientes.
Ainda utilizando substituição de variáveis, calcule as seguintes integrais definidas:
Calcule as seguintes integrais definidas e interprete graficamente: por que a soma dos resultados nos itens (a) e (b) é igual à área do retângulo de base 2 e altura 4?
(dica: sobreponha os gráficos de e de e observe o que são as áreas calculadas em cada integral definida)
Ainda utilizando substituição de variáveis, calcule as seguintes integrais definidas: