Utilize frações parciais (ou outro método de integração, se possível) para integrar as funções racionais abaixo: integral 1(t^2+3 t-4) d t

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo e qual o conteúdo que vamos utilizar. A questão pede para integrar a função racional em relação a . Para resolver isso, vamos usar o método de frações parciais, que é uma técnica para decompor funções racionais em frações mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, precisamos fatorar o denominador da fração para facilitar a decomposição em frações parciais. Vamos fatorar o polinômio t^2 + 3t - 4 = (t + 4)(t - 1) .
Para fatorar , procuramos dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e .
Portanto:

Passo 3

Agora que fatoramos o denominador, podemos expressar a fração original como uma soma de frações parciais. Vamos escrever:
1(t + 4)(t - 1) = At + 4 + Bt - 1
onde e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Para encontrar os valores de 1 = A(t - 1) + B(t + 4) e 1 = A(1 - 1) + B(1 + 4) Rightarrow 1 = 0 + 5B Rightarrow B = 15 , multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum 1 = A(-4 - 1) + B(-4 + 4) Rightarrow 1 = -5A + 0 Rightarrow A = -15 :
Agora, escolhemos valores de que simplificam a equação:
  • Se :
  • Se :

Passo 5

Agora que encontramos 1(t + 4)(t - 1) = -15t + 4 + 15t - 1 e 1(t + 4)(t - 1) = -15(t + 4) + 15(t - 1) , substituímos de volta na expressão de frações parciais:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 1t^2 + 3t - 4 dt = integral ( -15(t + 4) + 15(t - 1) ) dt
Integrando termo a termo:
= -15 integral 1t + 4 dt + 15 integral 1t - 1 dt
Sabemos que = -15 ln|t + 4| + 15 ln|t - 1| + C , então:
onde é a constante de integração.

Resposta

A integral de integral 1t^2 + 3t - 4 dt = 15 ln|t - 1| - 15 ln|t + 4| + C em relação a é:

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