Utilize frações parciais (ou outro método de integração, se possível) para integrar as funções racionais abaixo:
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo e qual o conteúdo que vamos utilizar. A questão pede para integrar a função racional
em relação a
. Para resolver isso, vamos usar o método de frações parciais, que é uma técnica para decompor funções racionais em frações mais simples que são mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, precisamos fatorar o denominador da fração para facilitar a decomposição em frações parciais. Vamos fatorar o polinômio
.
Para fatorar
, procuramos dois números que multiplicados dão
e somados dão
. Esses números são
e
.
Portanto:
Passo 3
Agora que fatoramos o denominador, podemos expressar a fração original como uma soma de frações parciais. Vamos escrever:
onde
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Para encontrar os valores de
e
, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum
:
Agora, escolhemos valores de
que simplificam a equação:
- Se
:
- Se
:
Passo 5
Agora que encontramos
e
, substituímos de volta na expressão de frações parciais:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Integrando termo a termo:
Sabemos que
, então:
onde
é a constante de integração.
Resposta
A integral de
em relação a
é:
Exercícios relacionados
Decomponha as seguintes funções racionais como somas de frações parciais; não é necessário encontrar o valor dos coeficientes.
Ainda utilizando substituição de variáveis, calcule as seguintes integrais definidas:
Calcule as seguintes integrais definidas e interprete graficamente: por que a soma dos resultados nos itens (a) e (b) é igual à área do retângulo de base 2 e altura 4?
(dica: sobreponha os gráficos de e de
e observe o que são as áreas calculadas em cada integral definida)
(dica: sobreponha os gráficos de
Ainda utilizando substituição de variáveis, calcule as seguintes integrais definidas: