Determinar, através da definição de continuidade, todos os valores de x para os quais a função não é contínua.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar, usando a definição de continuidade, todos os valores de para os quais a função não é contínua. Para isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade e analisar onde a função está bem definida.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em um ponto se três condições forem satisfeitas:
  1. está definida.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. .
Se alguma dessas condições não for atendida, a função não é contínua em .

Passo 3

Agora, vamos analisar a função . Para que essa função esteja bem definida (ou seja, que o resultado da raiz quadrada seja um número real), o que está dentro da raiz precisa ser maior ou igual a zero:
Resolvendo essa desigualdade:
Então, a função está definida apenas para valores de entre e .

Passo 4

Dentro do intervalo onde a função está definida , a raiz quadrada e o polinômio são funções contínuas. A composição de funções contínuas também é contínua, então é contínua em todo o seu domínio .

Passo 5

Fora desse intervalo, ou seja, para ou , o que está dentro da raiz quadrada se torna negativo:
Nesse caso, não está definida nos números reais, o que significa que a função não é contínua nesses pontos.

Resposta

A função não é contínua para todos os valores de menores que ou maiores que , ou seja, para e .

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Determinar, através da definição, a continuidade ou descontinuidade (em ) da função:
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