Ajuste um polinômio quadrático aos seguintes dados, usando MMQ:
t 10 20 30 40 50 60 70 80
25 70 380 550 610 1220 830 1450
Juntamente com os coeficientes, determine .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para ajustar um polinômio quadrático aos dados fornecidos usando o método dos Mínimos Quadrados (MMQ). Isso significa que vamos encontrar uma curva do tipo que melhor se ajusta aos pontos dados na tabela. Para isso, vamos precisar entender como aplicar o MMQ para encontrar os coeficientes , e e, depois, calcular o coeficiente de determinação para ver quão bom é o ajuste.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados que temos:
Precisamos usar esses valores para montar um sistema de equações que nos ajude a encontrar , e .

Passo 3

No método dos Mínimos Quadrados para um polinômio quadrático, buscamos minimizar a soma dos quadrados dos resíduos, onde o resíduo é a diferença entre o valor real e o valor estimado pelo polinômio. Para isso, montamos um sistema de equações baseado nas somas de , , , , etc.
As equações são:
Mas, para simplificar, geralmente usamos as equações normais para ajuste quadrático:
Onde é o número de pontos de dados.

Passo 4

Vamos calcular as somas necessárias:

Passo 5

Agora, substituímos esses valores no sistema de equações normais:
Esse sistema pode ser resolvido usando métodos de álgebra linear, como substituição ou eliminação. Porém, para simplificar, vamos usar uma calculadora ou um software de matemática para encontrar os valores de , e .

Passo 6

Após resolver o sistema, obtemos os coeficientes:
Portanto, o polinômio ajustado é:

Passo 7

Agora, vamos calcular o coeficiente de determinação , que indica o quão bem o polinômio se ajusta aos dados. A fórmula para é:
Onde:
  • é a soma dos quadrados da regressão.
  • é a soma total dos quadrados.
Calculamos primeiro a média de :
Calculamos a SST:
Calculamos a SSR:
Então,

Resposta

O polinômio quadrático ajustado pelos Mínimos Quadrados é:
E o coeficiente de determinação é , indicando um bom ajuste aos dados.

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x 1 2 4 5 7
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b) Determine o polinômio de Newton de quarta ordem que passe pelos cinco pontos, usando a tabela de diferenças divididas. Use o polinômio obtido para determinar o valor interpolado .
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com e utilizando a) regra dos trapézios; b) regra de Simpson; c) compara com o resultado obtido analiticamente.