Obter a integral:
com
e utilizando a) regra dos trapézios; b) regra de Simpson; c) compara com o resultado obtido analiticamente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral definida de
. Vamos usar duas técnicas de integração numérica: a regra dos trapézios e a regra de Simpson, com um passo
. Além disso, vamos comparar esses resultados com a solução exata que obtemos analiticamente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a regra dos trapézios. Essa regra aproxima a área sob a curva dividindo o intervalo em trapézios e somando suas áreas. A fórmula geral é:
Aqui,
,
,
, e
.
Passo 3
Vamos calcular os pontos
e os valores de
:
Passo 4
Aplicando a regra dos trapézios:
Substituindo:
Passo 5
Agora, vamos para a regra de Simpson. Essa regra usa uma combinação ponderada das alturas para aproximar a área. A fórmula é:
Com
e
.
Passo 6
Aplicando a regra de Simpson:
Substituindo:
Passo 7
Vamos calcular a integral analiticamente. A função é
, então:
Avaliado de 0 a 2:
Resposta
a) Regra dos Trapézios: aproximadamente
b) Regra de Simpson: aproximadamente
c) Resultado analítico:
Comparando, a regra dos trapézios está mais próxima da resposta exata, enquanto a regra de Simpson deu um valor menor.
Exercícios relacionados
A partir do seguinte conjunto de dados com cinco pontos:
x | 1 | 2 | 4 | 5 | 7 |
---|---|---|---|---|---|
y | 52 | 5 | -5 | -40 | 10 |
a) Determine o polinômio de Lagrange de quarta ordem que passa pelos cinco pontos. Use o polinômio obtido para determinar o valor interpolado
.
b) Determine o polinômio de Newton de quarta ordem que passe pelos cinco pontos, usando a tabela de diferenças divididas. Use o polinômio obtido para determinar o valor interpolado .
b) Determine o polinômio de Newton de quarta ordem que passe pelos cinco pontos, usando a tabela de diferenças divididas. Use o polinômio obtido para determinar o valor interpolado
Ajuste um polinômio quadrático aos seguintes dados, usando MMQ:
t | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
25 | 70 | 380 | 550 | 610 | 1220 | 830 | 1450 |
Juntamente com os coeficientes, determine
.
Resolva o seguinte problema de valor inicial no intervalo de
a 2 usando o tamanho de passo
que
, usando o método de RK de quarta ordem.
A partir do seguinte conjunto de dados com cinco pontos:
x | 1 | 2 | 4 | 5 | 7 |
---|---|---|---|---|---|
y | 52 | 5 | -5 | -40 | 10 |
Determine o polinômio de Lagrange de quarta ordem que passa pelos cinco pontos. Use o polinômio obtido para determinar o valor interpolado
.