Obter a integral:
com e utilizando a) regra dos trapézios; b) regra de Simpson; c) compara com o resultado obtido analiticamente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida de . Vamos usar duas técnicas de integração numérica: a regra dos trapézios e a regra de Simpson, com um passo . Além disso, vamos comparar esses resultados com a solução exata que obtemos analiticamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a regra dos trapézios. Essa regra aproxima a área sob a curva dividindo o intervalo em trapézios e somando suas áreas. A fórmula geral é:
é
Aqui, , , , e .

Passo 3

Vamos calcular os pontos e os valores de :

Passo 4

Aplicando a regra dos trapézios:
é
Substituindo:
é

Passo 5

Agora, vamos para a regra de Simpson. Essa regra usa uma combinação ponderada das alturas para aproximar a área. A fórmula é:
í
Com e .

Passo 6

Aplicando a regra de Simpson:
Substituindo:

Passo 7

Vamos calcular a integral analiticamente. A função é , então:
Avaliado de 0 a 2:

Resposta

a) Regra dos Trapézios: aproximadamente
b) Regra de Simpson: aproximadamente
c) Resultado analítico:
Comparando, a regra dos trapézios está mais próxima da resposta exata, enquanto a regra de Simpson deu um valor menor.

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A partir do seguinte conjunto de dados com cinco pontos:
x 1 2 4 5 7
y 52 5 -5 -40 10
a) Determine o polinômio de Lagrange de quarta ordem que passa pelos cinco pontos. Use o polinômio obtido para determinar o valor interpolado .
b) Determine o polinômio de Newton de quarta ordem que passe pelos cinco pontos, usando a tabela de diferenças divididas. Use o polinômio obtido para determinar o valor interpolado .
Ajuste um polinômio quadrático aos seguintes dados, usando MMQ:
t 10 20 30 40 50 60 70 80
25 70 380 550 610 1220 830 1450
Juntamente com os coeficientes, determine .
Resolva o seguinte problema de valor inicial no intervalo de a 2 usando o tamanho de passo que , usando o método de RK de quarta ordem.
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x 1 2 4 5 7
y 52 5 -5 -40 10
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