Obter a integral:
integral0^2 e^-x+x-1
com h=0,5 e utilizando a) regra dos trapézios; b) regra de Simpson; c) compara com o resultado obtido analiticamente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida de . Vamos usar duas técnicas de integração numérica: a regra dos trapézios e a regra de Simpson, com um passo . Além disso, vamos comparar esses resultados com a solução exata que obtemos analiticamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a regra dos trapézios. Essa regra aproxima a área sob a curva dividindo o intervalo em trapézios e somando suas áreas. A fórmula geral é:
Regra dos Trapézios = h2 [ f(a) + 2 sumk=1^n-1 f(a + kh) + f(b) ] é
Aqui, , , , e .

Passo 3

Vamos calcular os pontos c|c x & f(x) hline 0 & e^0 + 0 - 1 = 1 - 1 = 0 0,5 & e^-0,5 + 0,5 - 1 approx 0,6065 + 0,5 - 1 = 0,1065 1 & e^-1 + 1 - 1 approx 0,3679 + 1 - 1 = 0,3679 1,5 & e^-1,5 + 1,5 - 1 approx 0,2231 + 1,5 - 1 = 0,7231 2 & e^-2 + 2 - 1 approx 0,1353 + 2 - 1 = 1,1353 e os valores de :

Passo 4

Aplicando a regra dos trapézios:
Trapézios = 0,52 [ f(0) + 2(f(0,5) + f(1) + f(1,5)) + f(2) ] é
Substituindo:
Trapézios = 0,25 [ 0 + 2(0,1065 + 0,3679 + 0,7231) + 1,1353 ] approx 0,25 [ 0 + 2(1,1975) + 1,1353 ] approx 0,25 times 3,5303 approx 0,8826 é

Passo 5

Agora, vamos para a regra de Simpson. Essa regra usa uma combinação ponderada das alturas para aproximar a área. A fórmula é:
Regra de Simpson = h3 [ f(a) + 4 sumímpar f(a + kh) + 2 sumpar f(a + kh) + f(b) ] í
Com e .

Passo 6

Aplicando a regra de Simpson:
Simpson = 0,53 [ f(0) + 4(f(0,5) + f(1,5)) + 2(f(1)) + f(2) ]
Substituindo:
Simpson = 0,53 [ 0 + 4(0,1065 + 0,7231) + 2(0,3679) + 1,1353 ] approx 0,53 [ 0 + 4(0,8296) + 0,7358 + 1,1353 ] approx 0,53 times 4,2345 approx 0,5 times 1,4115 approx 0,7058

Passo 7

Vamos calcular a integral analiticamente. A função é integral f(x) , dx = -e^-x + x^22 - x + C , então:
[ -e^-2 + 2^22 - 2 ] - [ -e^0 + 0^22 - 0 ] = -e^-2 + 2 - 2 + 1 = 1 - e^-2 approx 1 - 0,1353 = 0,8647
Avaliado de 0 a 2:

Resposta

a) Regra dos Trapézios: aproximadamente
b) Regra de Simpson: aproximadamente
c) Resultado analítico:
Comparando, a regra dos trapézios está mais próxima da resposta exata, enquanto a regra de Simpson deu um valor menor.

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