Obter a integral:
com
e utilizando a) regra dos trapézios; b) regra de Simpson; c) compara com o resultado obtido analiticamente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral definida de
. Vamos usar duas técnicas de integração numérica: a regra dos trapézios e a regra de Simpson, com um passo
. Além disso, vamos comparar esses resultados com a solução exata que obtemos analiticamente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a regra dos trapézios. Essa regra aproxima a área sob a curva dividindo o intervalo em trapézios e somando suas áreas. A fórmula geral é:
Aqui,
,
,
, e
.
Passo 3
Vamos calcular os pontos
e os valores de
:
Passo 4
Aplicando a regra dos trapézios:
Substituindo:
Passo 5
Agora, vamos para a regra de Simpson. Essa regra usa uma combinação ponderada das alturas para aproximar a área. A fórmula é:
Com
e
.
Passo 6
Aplicando a regra de Simpson:
Substituindo:
Passo 7
Vamos calcular a integral analiticamente. A função é
, então:
Avaliado de 0 a 2:
Resposta
a) Regra dos Trapézios: aproximadamente
b) Regra de Simpson: aproximadamente
c) Resultado analítico:
Comparando, a regra dos trapézios está mais próxima da resposta exata, enquanto a regra de Simpson deu um valor menor.