Nos Problemas de 1 até 8 , mostre que a equação dada é homogênea e resolva a equação diferencial: d/y = (y^4 + 2xy^3 - 3x^2y^2 - 2x^3y) / (2x^2y^2 - 2x^3y - 2x^4)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que a equação diferencial dada é homogênea e depois resolvê-la. A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais Ordinárias, especificamente Equações Homogêneas de Primeira Ordem. Para resolver, vamos precisar identificar se a equação é homogênea e, se for, usar a substituição adequada para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma equação diferencial ser homogênea. Uma equação diferencial de primeira ordem é homogênea se puder ser escrita na forma , ou seja, a função do lado direito depende apenas da razão .

Passo 3

Vamos analisar a equação dada:
Para verificar se é homogênea, vamos dividir cada termo do numerador e denominador por , que é o maior grau de :
Simplificando:
Viu só? A equação agora depende apenas da razão . Então, está comprovado que a equação é homogênea.

Passo 4

Agora que sabemos que a equação é homogênea, podemos resolver usando a substituição . Assim, e .
Substituindo na equação original:

Passo 5

Vamos rearranjar os termos para isolar :
Simplificando o lado direito:
Expandindo :
Simplificando os termos:

Passo 6

Fatorando o numerador e o denominador:
Numerador:
Denominador:
Portanto:

Passo 7

Agora, vamos separar as variáveis para integrar. Reescrevendo:

Passo 8

Para integrar o lado esquerdo, podemos usar frações parciais. Vamos simplificar a expressão:
Após encontrar os valores de , , e e integrar, obteremos a solução geral da equação diferencial.

Resposta

Após resolver, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Substituindo :
Onde é a constante de integração.

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