O alcance de um projétil é 4 vezes o valor da altura máxima atingida, e ele permanece no ar durante . (a) Qual o ângulo de lançamento desse projétil? (b) Qual o vetor velocidade inicial? © Qual foi o alcance em metros? (d) Esse alcance é o máximo que poderia ser atingido? (justifique).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um lançamento de projétil onde o alcance ® é 4 vezes a altura máxima (Hₘₐₓ) alcançada, e o tempo que ele fica no ar é de 2,0 segundos. A matéria que vamos usar aqui é movimento de projéteis, e vamos precisar das fórmulas de alcance, altura máxima e tempo de voo.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o ângulo de lançamento (θ). Sabemos que o alcance e a altura máxima á estão relacionadas pelas seguintes fórmulas:
á
Como á, substituindo as fórmulas:
Simplificando:
Sabendo que , temos:
Isso significa que:

Passo 3

Agora, vamos achar a velocidade inicial . Sabemos que o tempo de voo é dado por:
Rearranjando para encontrar :
Substituindo s, e :
Então, a velocidade inicial em componentes fica:
Portanto, .

Passo 4

Vamos calcular o alcance . Usando a fórmula:
Substituindo os valores:

Passo 5

Por último, vamos verificar se esse alcance é o máximo possível. Sabemos que o alcance máximo ocorre quando o ângulo de lançamento é , que é exatamente o caso aqui. Portanto, o alcance calculado de 19,6 metros é o máximo que poderia ser atingido com as condições dadas.

Resposta

(a) O ângulo de lançamento é .
(b) O vetor velocidade inicial é .
© O alcance é de aproximadamente 19,6 metros.
(d) Sim, esse alcance é o máximo que poderia ser atingido, já que o ângulo de proporciona o alcance máximo em lançamentos de projéteis.

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