O alcance de um projétil é 4 vezes o valor da altura máxima atingida, e ele permanece no ar durante 2,0 s. (a) Qual o ângulo de lançamento desse projétil? (b) Qual o vetor velocidade inicial? © Qual foi o alcance em metros? (d) Esse alcance é o máximo que poderia ser atingido? (justifique).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um lançamento de projétil onde o alcance ® é 4 vezes a altura máxima (Hₘₐₓ) alcançada, e o tempo que ele fica no ar é de 2,0 segundos. A matéria que vamos usar aqui é movimento de projéteis, e vamos precisar das fórmulas de alcance, altura máxima e tempo de voo.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o ângulo de lançamento (θ). Sabemos que o alcance R = v0^2 sin(2theta)g e a altura máxima Hmáx = v0^2 sin^2(theta)2g á estão relacionadas pelas seguintes fórmulas:
v0^2 sin(2theta)g = 4 ( v0^2 sin^2(theta)2g )
sin(2theta) = 2 sin^2(theta) á
Como 2 sin(theta) cos(theta) = 2 sin^2(theta) Rightarrow cos(theta) = sin(theta) á, substituindo as fórmulas:
tan(theta) = 1 Rightarrow theta = 45^circ
Simplificando:
Sabendo que , temos:
Isso significa que:

Passo 3

Agora, vamos achar a velocidade inicial T = 2 v0 sin(theta)g . Sabemos que o tempo de voo v0 = g T2 sin(theta) é dado por:
v0 = 9,8 times 2,02 times raiz22 = 19,6raiz2 approx 13,86 , m/s
Rearranjando para encontrar v0x = v0 cos(45^circ) = 13,86 times raiz22 approx 9,8 , m/s :
v0y = v0 sin(45^circ) = 13,86 times raiz22 approx 9,8 , m/s
Substituindo s, e :
Então, a velocidade inicial em componentes fica:
Portanto, .

Passo 4

Vamos calcular o alcance R = v0 cos(theta) times T . Usando a fórmula:
R = 9,8 times 2,0 = 19,6 , m
Substituindo os valores:

Passo 5

Por último, vamos verificar se esse alcance é o máximo possível. Sabemos que o alcance máximo ocorre quando o ângulo de lançamento é , que é exatamente o caso aqui. Portanto, o alcance calculado de 19,6 metros é o máximo que poderia ser atingido com as condições dadas.

Resposta

(a) O ângulo de lançamento é .
(b) O vetor velocidade inicial é .
© O alcance é de aproximadamente 19,6 metros.
(d) Sim, esse alcance é o máximo que poderia ser atingido, já que o ângulo de proporciona o alcance máximo em lançamentos de projéteis.

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