O desclocamento de uma partícula no espaço é determinado pelo vetor
. Determine o vetor velocidade
e o vetor aceleração
dessa partícula .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá o vetor deslocamento de uma partícula no espaço, que é
. A gente precisa encontrar o vetor velocidade
e o vetor aceleração
dessa partícula.
Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente derivadas de funções vetoriais em relação ao tempo. Precisamos derivar o vetor deslocamento para achar a velocidade e depois derivar a velocidade para achar a aceleração.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade
. A velocidade é a derivada do deslocamento em relação ao tempo. Ou seja:
Vamos derivar cada componente do vetor deslocamento:
- Componente
: A derivada de em relação a é . - Componente
: A derivada de em relação a é . - Componente
: A derivada de (que é uma constante) em relação a é .
Então, juntando tudo:
Simplificando, podemos escrever:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a aceleração
. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Ou seja:
Vamos derivar cada componente do vetor velocidade:
- Componente
: A derivada de em relação a é . - Componente
: A derivada de em relação a é . - Componente
: A derivada de em relação a é .
Então, juntando tudo:
Simplificando, podemos escrever:
Resposta
O vetor velocidade da partícula é
e o vetor aceleração é
.