O desclocamento de uma partícula no espaço é determinado pelo vetor . Determine o vetor velocidade e o vetor aceleração dessa partícula .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá o vetor deslocamento de uma partícula no espaço, que é . A gente precisa encontrar o vetor velocidade e o vetor aceleração dessa partícula.
Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente derivadas de funções vetoriais em relação ao tempo. Precisamos derivar o vetor deslocamento para achar a velocidade e depois derivar a velocidade para achar a aceleração.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade . A velocidade é a derivada do deslocamento em relação ao tempo. Ou seja:
Vamos derivar cada componente do vetor deslocamento:
  • Componente : A derivada de em relação a é .
  • Componente : A derivada de em relação a é .
  • Componente : A derivada de (que é uma constante) em relação a é .
Então, juntando tudo:
Simplificando, podemos escrever:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a aceleração . A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Ou seja:
Vamos derivar cada componente do vetor velocidade:
  • Componente : A derivada de em relação a é .
  • Componente : A derivada de em relação a é .
  • Componente : A derivada de em relação a é .
Então, juntando tudo:
Simplificando, podemos escrever:

Resposta

O vetor velocidade da partícula é e o vetor aceleração é .

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