O desclocamento de uma partícula no espaço é determinado pelo vetor De. Determine o vetor velocidade v(t) e o vetor aceleração a(t) dessa partícula .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá o vetor deslocamento de uma partícula no espaço, que é De. A gente precisa encontrar o vetor velocidade v(t) e o vetor aceleração a(t) dessa partícula.
Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente derivadas de funções vetoriais em relação ao tempo. Precisamos derivar o vetor deslocamento para achar a velocidade e depois derivar a velocidade para achar a aceleração.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade v(t). A velocidade é a derivada do deslocamento em relação ao tempo. Ou seja:
v(t) = ddt De
Vamos derivar cada componente do vetor deslocamento:
  • Componente i: A derivada de 5t em relação a t é 5.
  • Componente j: A derivada de 7t^2 em relação a t é 14t.
  • Componente k: A derivada de -2 (que é uma constante) em relação a t é 0.
Então, juntando tudo:
v(t) = 5, i + 14t, j + 0, k
Simplificando, podemos escrever:
v(t) = 5, i + 14t, j

Passo 3

Agora, vamos encontrar a aceleração a(t). A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Ou seja:
a(t) = ddt v(t)
Vamos derivar cada componente do vetor velocidade:
  • Componente i: A derivada de 5 em relação a t é 0.
  • Componente j: A derivada de 14t em relação a t é 14.
  • Componente k: A derivada de 0 em relação a t é 0.
Então, juntando tudo:
a(t) = 0, i + 14, j + 0, k
Simplificando, podemos escrever:
a(t) = 14, j

Resposta

O vetor velocidade da partícula é v(t) = 5, i + 14t, j e o vetor aceleração é a(t) = 14, j.

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