Alda e Fernando usaram métodos diferentes para resolver a integral .
Alda. Fazendo a substituição , tem-se e . Assim,
No último passo, Alda usou que o logaritmo da divisão é a diferença dos logaritmos e absorveu a constante em . Também usou que é sempre maior ou igual a 0 para retirar o módulo.
Fernando. Fazendo substituição , tem-se e . Assim,
em que arcsenh representa a função inversa do seno hiperbólico.
Verifique que ambas as resoluções estão corretas e relacione as duas respostas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício está pedindo para a gente verificar se as diferentes maneiras que a Alda e o Fernando usaram para resolver a integral estão corretas e como as respostas deles se relacionam. Aqui a gente vai precisar usar conceitos de cálculo integral, especificamente de substituição trigonométrica e hiperbólica.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na resolução da Alda. Ela usa uma substituição trigonométrica:
  1. Substituição: . Isso significa que .
  2. Calcular a raiz: .
  3. Substituir na integral: Ficamos com .
  4. Integrar: A integral de é .
  5. Voltar para x: Substituindo de volta em termos de , obtemos .
A Alda foi bem detalhista e aplicou as substituições corretamente.

Passo 3

Agora, vamos ver como o Fernando resolveu a mesma integral usando uma substituição hiperbólica:
  1. Substituição: . Então, .
  2. Calcular a raiz: .
  3. Substituir na integral: Ficamos com .
  4. Integrar: A integral de 1 é .
  5. Voltar para x: Usando a função inversa, temos , então a solução final é .
O Fernando também aplicou a substituição de forma correta e chegou a uma resposta válida.

Passo 4

Agora, vamos relacionar as duas respostas. A solução da Alda é em termos de logaritmos, enquanto a do Fernando está em termos da função seno hiperbólico inverso. Na verdade, essas duas expressões são equivalentes, pois a função pode ser expressa como:
Então, além de diferirem na forma, as duas soluções diferem por uma constante ( ), que já está incluída na constante de integração . Isso significa que, essencialmente, as respostas são equivalentes.

Resposta

Ambas as soluções de Alda e Fernando estão corretas e, embora apresentem formas diferentes, suas respostas finais são equivalentes, diferindo apenas por uma constante de integração.

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Resolva as integrais abaixo.
(i) .
Eshocc a região limitada pelas curvas c a sua área.
Resolva as integrais abaixo.
(j) .
Seja um campo escalar e um campo vetorial. Diga se cada expressão tem sentido. Em caso, afirmativo, diga se o campo é vetorial ou escalar.

Rpta: a) escalar, b) não tem sentido, c) escalar