Alda e Fernando usaram métodos diferentes para resolver a integral integral 1raizx^2+a^2 d x.
Alda. Fazendo a substituição x=a tg t, tem-se d x=a sec ^2 t d t e raizx^2+a^2=a sec t. Assim,
integral 1raizx^2+a^2 d x & =integral sec t d t=ln |tg t+sec t|+C & =ln |xa+raizx^2+a^2a|+C=ln (x+raizx^2+a^2)+C
No último passo, Alda usou que o logaritmo da divisão é a diferença dos logaritmos e absorveu a constante ln |a| em C. Também usou que x+raizx^2+a^2 é sempre maior ou igual a 0 para retirar o módulo.
Fernando. Fazendo substituição x=a senh t, tem-se d x=a cosh t d t e raizx^2+a^2=a cosh t. Assim,
integral 1raizx^2+a^2 d x=integral 1 d t=t+C=arcsenh(xa)+C
em que arcsenh representa a função inversa do seno hiperbólico.
Verifique que ambas as resoluções estão corretas e relacione as duas respostas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício está pedindo para a gente verificar se as diferentes maneiras que a Alda e o Fernando usaram para resolver a integral estão corretas e como as respostas deles se relacionam. Aqui a gente vai precisar usar conceitos de cálculo integral, especificamente de substituição trigonométrica e hiperbólica.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na resolução da Alda. Ela usa uma substituição trigonométrica:
  1. Substituição: . Isso significa que .
  2. Calcular a raiz: .
  3. Substituir na integral: Ficamos com .
  4. Integrar: A integral de é .
  5. Voltar para x: Substituindo de volta em termos de , obtemos .
A Alda foi bem detalhista e aplicou as substituições corretamente.

Passo 3

Agora, vamos ver como o Fernando resolveu a mesma integral usando uma substituição hiperbólica:
  1. Substituição: . Então, .
  2. Calcular a raiz: .
  3. Substituir na integral: Ficamos com .
  4. Integrar: A integral de 1 é .
  5. Voltar para x: Usando a função inversa, temos , então a solução final é .
O Fernando também aplicou a substituição de forma correta e chegou a uma resposta válida.

Passo 4

Agora, vamos relacionar as duas respostas. A solução da Alda é em termos de logaritmos, enquanto a do Fernando está em termos da função seno hiperbólico inverso. Na verdade, essas duas expressões são equivalentes, pois a função arcsinh(xa) = ln(xa + raiz(xa)^2 + 1) = ln(x + raizx^2+a^2) - ln a pode ser expressa como:
Então, além de diferirem na forma, as duas soluções diferem por uma constante ( ), que já está incluída na constante de integração . Isso significa que, essencialmente, as respostas são equivalentes.

Resposta

Ambas as soluções de Alda e Fernando estão corretas e, embora apresentem formas diferentes, suas respostas finais são equivalentes, diferindo apenas por uma constante de integração.

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