Seja
um campo escalar e
um campo vetorial. Diga se cada expressão tem sentido. Em caso, afirmativo, diga se o campo é vetorial ou escalar.
Rpta: a) escalar, b) não tem sentido, c) escalar
Rpta: a) escalar, b) não tem sentido, c) escalar
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente analisar se a expressão
faz sentido. Se fizer, precisamos dizer se o resultado é um campo escalar ou vetorial. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente as operações de gradiente (
), rotacional (
) e divergente (
).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada operador faz:
-
Gradiente (
): Se é um campo escalar (função que associa um número real a cada ponto no espaço), o gradiente de é um campo vetorial que aponta na direção de maior aumento de . -
Rotacional (
ou ): Aplica-se a um campo vetorial e retorna outro campo vetorial que mede a tendência do campo original de “girar” em torno de um ponto. -
Divergente (
ou ): Aplica-se a um campo vetorial e retorna um campo escalar que mede a “taxa de saída” do campo em cada ponto.
Passo 3
Agora, vamos analisar a expressão passo a passo:
-
Calculando o gradiente (
): Como é um campo escalar, é um campo vetorial. -
Calculando o rotacional do gradiente (
): Aqui aplicamos o rotacional a um campo vetorial. Existe uma propriedade importante em cálculo vetorial que diz que o rotacional do gradiente de qualquer campo escalar é sempre o vetor nulo: Isso significa queé um campo vetorial cujo valor é zero em todos os pontos. -
Calculando o divergente do rotacional (
): Agora, aplicamos o divergente a um campo vetorial que é o vetor nulo. O divergente do vetor nulo também é zero:
Resposta
Sim, a expressão
faz sentido e resulta em um campo escalar.