Seja f um campo escalar e F um campo vetorial. Diga se cada expressão tem sentido. Em caso, afirmativo, diga se o campo é vetorial ou escalar.
div(rot(grad f))
Rpta: a) escalar, b) não tem sentido, c) escalar

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente analisar se a expressão div(rot(grad f)) faz sentido. Se fizer, precisamos dizer se o resultado é um campo escalar ou vetorial. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente as operações de gradiente ( nabla f), rotacional ( ) e divergente ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada operador faz:
  • Gradiente ( nabla f): Se f é um campo escalar (função que associa um número real a cada ponto no espaço), o gradiente de f é um campo vetorial que aponta na direção de maior aumento de f.
  • Rotacional ( ou nabla vezes): Aplica-se a um campo vetorial e retorna outro campo vetorial que mede a tendência do campo original de “girar” em torno de um ponto.
  • Divergente ( ou ): Aplica-se a um campo vetorial e retorna um campo escalar que mede a “taxa de saída” do campo em cada ponto.

Passo 3

Agora, vamos analisar a expressão passo a passo:
  1. Calculando o gradiente ( nabla f): Como f é um campo escalar, nabla f é um campo vetorial.
  2. Calculando o rotacional do gradiente ( ): Aqui aplicamos o rotacional a um campo vetorial. Existe uma propriedade importante em cálculo vetorial que diz que o rotacional do gradiente de qualquer campo escalar é sempre o vetor nulo:
    Isso significa que é um campo vetorial cujo valor é zero em todos os pontos.
  3. Calculando o divergente do rotacional ( div(rot(grad f))): Agora, aplicamos o divergente a um campo vetorial que é o vetor nulo. O divergente do vetor nulo também é zero:

Resposta

Sim, a expressão div(rot(grad f)) faz sentido e resulta em um campo escalar.

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