Seja um campo escalar e um campo vetorial. Diga se cada expressão tem sentido. Em caso, afirmativo, diga se o campo é vetorial ou escalar.

Rpta: a) escalar, b) não tem sentido, c) escalar

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente analisar se a expressão faz sentido. Se fizer, precisamos dizer se o resultado é um campo escalar ou vetorial. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente as operações de gradiente ( ), rotacional ( ) e divergente ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada operador faz:
  • Gradiente ( ): Se é um campo escalar (função que associa um número real a cada ponto no espaço), o gradiente de é um campo vetorial que aponta na direção de maior aumento de .
  • Rotacional ( ou ): Aplica-se a um campo vetorial e retorna outro campo vetorial que mede a tendência do campo original de “girar” em torno de um ponto.
  • Divergente ( ou ): Aplica-se a um campo vetorial e retorna um campo escalar que mede a “taxa de saída” do campo em cada ponto.

Passo 3

Agora, vamos analisar a expressão passo a passo:
  1. Calculando o gradiente ( ): Como é um campo escalar, é um campo vetorial.
  2. Calculando o rotacional do gradiente ( ): Aqui aplicamos o rotacional a um campo vetorial. Existe uma propriedade importante em cálculo vetorial que diz que o rotacional do gradiente de qualquer campo escalar é sempre o vetor nulo:
    Isso significa que é um campo vetorial cujo valor é zero em todos os pontos.
  3. Calculando o divergente do rotacional ( ): Agora, aplicamos o divergente a um campo vetorial que é o vetor nulo. O divergente do vetor nulo também é zero:

Resposta

Sim, a expressão faz sentido e resulta em um campo escalar.

Exercícios relacionados

Resolva as integrais abaixo.
(j) .
Alda e Fernando usaram métodos diferentes para resolver a integral .
Alda. Fazendo a substituição , tem-se e . Assim,
No último passo, Alda usou que o logaritmo da divisão é a diferença dos logaritmos e absorveu a constante em . Também usou que é sempre maior ou igual a 0 para retirar o módulo.
Fernando. Fazendo substituição , tem-se e . Assim,
em que arcsenh representa a função inversa do seno hiperbólico.
Verifique que ambas as resoluções estão corretas e relacione as duas respostas.
Seja um campo escalar e um campo vetorial. Diga se cada expressão tem sentido. Em caso, afirmativo, diga se o campo é vetorial ou escalar.
Determine a derivada
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