Seja um campo escalar e um campo vetorial. Diga se cada expressão tem sentido. Em caso, afirmativo, diga se o campo é vetorial ou escalar.
Rpta: a) escalar, b) não tem sentido, c) escalar
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente analisar se a expressão faz sentido. Se fizer, precisamos dizer se o resultado é um campo escalar ou vetorial. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente as operações de gradiente (), rotacional () e divergente ().
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada operador faz:
Gradiente (): Se é um campo escalar (função que associa um número real a cada ponto no espaço), o gradiente de é um campo vetorial que aponta na direção de maior aumento de .
Rotacional ( ou ): Aplica-se a um campo vetorial e retorna outro campo vetorial que mede a tendência do campo original de “girar” em torno de um ponto.
Divergente ( ou ): Aplica-se a um campo vetorial e retorna um campo escalar que mede a “taxa de saída” do campo em cada ponto.
Passo 3
Agora, vamos analisar a expressão passo a passo:
Calculando o gradiente (): Como é um campo escalar, é um campo vetorial.
Calculando o rotacional do gradiente (): Aqui aplicamos o rotacional a um campo vetorial. Existe uma propriedade importante em cálculo vetorial que diz que o rotacional do gradiente de qualquer campo escalar é sempre o vetor nulo:
Isso significa que é um campo vetorial cujo valor é zero em todos os pontos.
Calculando o divergente do rotacional (): Agora, aplicamos o divergente a um campo vetorial que é o vetor nulo. O divergente do vetor nulo também é zero:
Resposta
Sim, a expressão faz sentido e resulta em um campo escalar.