Eshocc a região limitada pelas curvas c a sua área.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas curvas: e , além das linhas e . A tarefa é esboçar a região limitada por essas curvas e calcular a área dessa região. Para resolver isso, vamos precisar de conhecimentos básicos de cálculo, especialmente integração, já que vamos calcular a área entre curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender onde essas duas funções se intersectam no intervalo de a . Queremos encontrar o ponto onde .

Passo 3

Vamos igualar as duas funções:
Dividindo ambos os lados por (lembrando que não é zero nesse intervalo):
Então,
Isso acontece quando .

Passo 4

Agora sabemos que as curvas se cruzam em . Isso divide nosso intervalo de a em duas partes:
  • De a , está acima de .
  • De a , está acima de .

Passo 5

Para calcular a área entre as curvas, vamos integrar a diferença entre as funções que estão no topo e embaixo em cada intervalo.
Primeiro intervalo ( a ):
Segundo intervalo ( a ):

Passo 6

Vamos calcular :

Passo 7

Agora vamos calcular :

Passo 8

Agora, somamos as duas áreas para obter a área total da região limitada:

Resposta

A área da região limitada pelas curvas é unidades de área.

Exercícios relacionados

Utilize o teste dos caminhos para provar a não existência dos seguintes limites:
Resolva as integrais abaixo.
(f) .
Resolva as integrais abaixo.
(i) .
Alda e Fernando usaram métodos diferentes para resolver a integral .
Alda. Fazendo a substituição , tem-se e . Assim,
No último passo, Alda usou que o logaritmo da divisão é a diferença dos logaritmos e absorveu a constante em . Também usou que é sempre maior ou igual a 0 para retirar o módulo.
Fernando. Fazendo substituição , tem-se e . Assim,
em que arcsenh representa a função inversa do seno hiperbólico.
Verifique que ambas as resoluções estão corretas e relacione as duas respostas.