Resolva as integrais abaixo.
(j) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Esse tipo de integral envolve cálculos com raízes quadradas de expressões quadráticas, então vamos usar substituição trigonométrica para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a forma da expressão dentro da raiz: . Isso se parece com , onde e . Para lidar com isso, usamos a substituição trigonométrica , ou seja, . Assim, expressamos em termos de :

Passo 3

Agora, encontramos o diferencial . Derivando ambos os lados em relação a :
Substituindo e na integral original:
Simplificando dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Usamos a identidade para simplificar:
Integrando:

Passo 4

Agora, voltamos para a variável original . Sabemos que , então:
E
Substituindo de volta:
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a :
Para :
Para :
Calculando a diferença:

Resposta

Exercícios relacionados

Alda e Fernando usaram métodos diferentes para resolver a integral .
Alda. Fazendo a substituição , tem-se e . Assim,
No último passo, Alda usou que o logaritmo da divisão é a diferença dos logaritmos e absorveu a constante em . Também usou que é sempre maior ou igual a 0 para retirar o módulo.
Fernando. Fazendo substituição , tem-se e . Assim,
em que arcsenh representa a função inversa do seno hiperbólico.
Verifique que ambas as resoluções estão corretas e relacione as duas respostas.
Resolva as integrais abaixo.
(i) .
Seja um campo escalar e um campo vetorial. Diga se cada expressão tem sentido. Em caso, afirmativo, diga se o campo é vetorial ou escalar.

Rpta: a) escalar, b) não tem sentido, c) escalar
Seja um campo escalar e um campo vetorial. Diga se cada expressão tem sentido. Em caso, afirmativo, diga se o campo é vetorial ou escalar.