Resolva as integrais abaixo.
(j) integral0^2 / 3 raiz4-9 x^2 d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Esse tipo de integral envolve cálculos com raízes quadradas de expressões quadráticas, então vamos usar substituição trigonométrica para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a forma da expressão dentro da raiz: x = 23 sin theta . Isso se parece com , onde e . Para lidar com isso, usamos a substituição trigonométrica , ou seja, . Assim, expressamos em termos de :

Passo 3

Agora, encontramos o diferencial dx = 23 cos theta , dtheta . Derivando ambos os lados em relação a integral raiz4 - 9x^2 , dx = integral raiz4 - 9 (23 sin theta)^2 cdot 23 cos theta , dtheta :
raiz4 - 4 sin^2 theta = raiz4(1 - sin^2 theta) = 2 cos theta
Substituindo integral 2 cos theta cdot 23 cos theta , dtheta = 43 integral cos^2 theta , dtheta e 43 integral 1 + cos 2theta2 , dtheta = 23 integral (1 + cos 2theta) , dtheta na integral original:
23 ( theta + sin 2theta2 ) + C
Simplificando dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Usamos a identidade para simplificar:
Integrando:

Passo 4

Agora, voltamos para a variável original theta = arcsin(3x2) . Sabemos que 23 ( arcsin(3x2) + 3x raiz4 - 9x^22 ) , então:
arcsin(1) = pi2, raiz4 - 9(23)^2 = raiz4 - 4 = 0
E arcsin(0) = 0, raiz4 - 0 = 2
Substituindo de volta:
23 ( pi2 + 0 ) - 23 ( 0 + 02 ) = pi3
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a :
Para :
Para :
Calculando a diferença:

Resposta

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