Resolva as integrais abaixo.
(j)
.
(j)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral definida
. Esse tipo de integral envolve cálculos com raízes quadradas de expressões quadráticas, então vamos usar substituição trigonométrica para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a forma da expressão dentro da raiz:
. Isso se parece com
, onde
e
. Para lidar com isso, usamos a substituição trigonométrica
, ou seja,
. Assim, expressamos
em termos de
:
Passo 3
Agora, encontramos o diferencial
. Derivando ambos os lados em relação a
:
Substituindo
e
na integral original:
Simplificando dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Usamos a identidade
para simplificar:
Integrando:
Passo 4
Agora, voltamos para a variável original
. Sabemos que
, então:
E
Substituindo de volta:
Substituindo de volta:
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a
:
Para :
Para
Para
:
Calculando a diferença: