Uma aleta infinita, que consiste de um bastão cilíndrico de cobre puro de 1 m de comprimento está afixada a uma superfície plana de cobre puro, cuja temperatura é de 234^circ C. O bastão tem um diâmetro de 10 mm . Ele troca calor com o ar, estando este com uma temperatura de 20^circ C, com um coeficiente de transferência de calor h=10 W /(m 2 K). Determine a temperatura no bastão a 500 mm da superfície plana de cobre e a quantidade de calor total transferido pela aleta. Considere o problema no estado estacionário. O cobre puro possui condutividade térmica k=343 W /(m K), densidade rho=8933 kg / m 3 e calor específico c=397 J /(kg cdot K).

Passo 1

Vamos resolver um exercício de transferência de calor envolvendo uma aleta infinita de cobre. Precisamos determinar a temperatura a 500 mm da superfície e a quantidade total de calor transferido. Para isso, vamos utilizar conceitos de condução de calor e transferência de calor por convecção.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados fornecidos:
  • Comprimento da aleta: 1 m
  • Diâmetro da aleta: 10 mm = 0,01 m
  • Temperatura da superfície: 234^circ C
  • Temperatura do ar: 20^circ C
  • Coeficiente de transferência de calor por convecção: h = 10 W/(m^2 cdot K)
  • Condutividade térmica do cobre: k = 343 W/(m cdot K)

Passo 3

Vamos calcular a área de superfície da aleta, que é importante para a transferência de calor. A área de um cilindro é dada por:
A = pi d L
onde:
  • d é o diâmetro
  • L é o comprimento
Substituindo os valores:
A = pi times 0,01 times 1 = 0,0314 m^2

Passo 4

Agora, vamos determinar a taxa de transferência de calor pela aleta. Para uma aleta infinita em regime estacionário, a taxa de calor transferido é dada por:
Q = raizh k A P cdot (Tb - Tinfty)
onde:
  • P é o perímetro da seção da aleta
  • Tb é a temperatura na base
  • Tinfty é a temperatura do ambiente
Primeiro, calculamos o perímetro:
P = pi d = pi times 0,01 = 0,0314 m

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula de Q:
Q = raiz10 times 343 times 0,0314 times 0,0314 times (234 - 20)
Primeiro, calculamos o interior da raiz:
10 times 343 times 0,0314 times 0,0314 approx 3,4
Então:
Q = raiz3,4 times 214 approx 1,84 times 214 approx 393 W

Passo 6

Para encontrar a temperatura a 500 mm da superfície, usamos a equação da distribuição de temperatura em uma aleta infinita:
T(x) = Tinfty + (Tb - Tinfty) e^-mx
onde:
m = raizh Pk A
Calculando m:
m = raiz10 times 0,0314343 times 0,0314 = raiz10343 approx 0,171 m^-1
Agora, substituindo na equação de T(x) com x = 0,5 m:
T(0,5) = 20 + (234 - 20) e^-0,171 times 0,5 approx 20 + 214 times e^-0,0855 approx 20 + 214 times 0,918 approx 20 + 196 approx 216^circ C

Resposta

A temperatura no bastão a 500 mm da superfície é aproximadamente 216^circ C e a quantidade de calor total transferido pela aleta é cerca de 393 W.

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