Uma salsicha de cachorro-quente é posta para cozinhar em água fervente (1000C). Ela está inicialmente a uma temperatura uniforme de 00C, o coeficiente médio de transferência de calor por convecção é de 4 W / m 2 K e a temperatura final no eixo central da salsicha é de 800C. Considerando a salsicha como um cilindm muito longo (cilindro infinito) de raio de 10 mm , tendo como propriedades térmicas (rho=880 kg / m 3, c=3350 J / kgK e k=0,5 W / mK ), determine o tempo de cozimento.

Passo 1

O enunciado nos apresenta um problema de transferência de calor envolvendo uma salsicha (modelo de cilindro infinito) sendo cozida em água fervente a 100°C. A salsicha começa a uma temperatura inicial de 0°C e, após o tempo de cozimento, a temperatura no eixo central atinge 80°C. Para resolver este exercício, vamos utilizar conceitos de condução de calor em cilindros e a Teoria de Condução Transiente. Precisaremos das propriedades térmicas da salsicha e aplicar a equação de resfriamento para determinar o tempo necessário para o cozimento.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se podemos simplificar o problema usando o método de Capacidade Térmica Agrupada (ou método lumped). Para isso, calculamos o Número de Biot (Bi), que nos indica se a temperatura dentro da salsicha é quase uniforme.
A fórmula do Número de Biot é:
Bi = h cdot Lck
onde:
  • Lc = R2 = 0,01 , m2 = 0,005 , m é o coeficiente de transferência de calor por convecção,
  • Bi = 4 times 0,0050,5 = 0,04 é o comprimento característico,
  • é a condutividade térmica.
Para um cilindro, o comprimento característico é dado por:
Calculando o Número de Biot:
Como , podemos usar o método lumped, assumindo que a temperatura é uniforme na salsicha.

Passo 3

Com o método lumped, a equação para determinar o tempo de cozimento é:
t = rho cdot c cdot Vh cdot A ln(Tinfty - TiTinfty - Tf)
onde:
  • V = pi R^2 L = pi times (0,01)^2 times 1 = 3,14 times 10^-4 , m^3 é a densidade,
  • A = 2 pi R L = 2 pi times 0,01 times 1 = 6,28 times 10^-2 , m^2 é a capacidade térmica específica,
  • é o volume da salsicha,
  • é a área de superfície,
  • é a temperatura da água,
  • é a temperatura inicial da salsicha,
  • é a temperatura final no eixo central.
Primeiro, calculamos o volume e a área de superfície da salsicha, considerando o raio .
O volume de um cilindro infinito não é definido, mas como estamos assumindo um método lumped, podemos considerar uma unidade de comprimento :
A área de superfície para um cilindro infinito é:

Passo 4

Agora, substituímos todos os valores na equação do tempo t = 880 times 3350 times 3,14 times 10^-44 times 6,28 times 10^-2 ln(100 - 0100 - 80) :
ln(10020) = ln(5) approx 1,6094
Primeiro, calculamos o termo do logaritmo:
880 times 3350 times 3,14 times 10^-4 approx 880 times 3350 times 0,000314 approx 880 times 1,0499 approx 923,91 , J/K
Agora, calculamos o numerador:
4 times 6,28 times 10^-2 = 0,2512 , W/K
E o denominador:
t = 923,910,2512 times 1,6094 approx 3677,5 times 1,6094 approx 5913,7 , segundos
Finalmente, calculamos t approx 5913,760 approx 98,56 , minutos :
Convertendo para minutos:

Resposta

O tempo de cozimento da salsicha é aproximadamente 98,6 minutos.

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