Aletas circulares de diâmetro e comprimento , feitas de cobre , são utilizadas para aumentar a transferência de calor a partir de uma superfície mantida na temperatura . Cada vareta tem sua extremidade fixada nessa superfície ( ), enquanto a extremidade oposta é fixada na segunda superfície, mantida a . Ar a flui entre as superfícies e as varetas, o que confere um coeficiente convectivo de transferência de calor de 100 . A partir dessas informações,
(a) Calcule a temperatura das aletas em ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre transferência de calor usando aletas circulares de cobre. A ideia é encontrar a temperatura no meio da aleta, ou seja, em . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre condução de calor em aletas e como a convecção influencia nessa transferência.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
  • Diâmetro da aleta,
  • Comprimento da aleta,
  • Condutividade térmica do cobre,
  • Temperatura na base da aleta,
  • Temperatura na ponta da aleta,
  • Coeficiente de convecção, ²

Passo 3

Vamos lembrar que a temperatura ao longo da aleta é governada pela equação de condução de calor com convecção. A equação diferencial para a temperatura ao longo da aleta é:
Onde:
  • é o perímetro da seção transversal da aleta.
  • é a área da seção transversal.
  • é a temperatura do ar, que é .

Passo 4

Calculando o perímetro e a área da seção transversal :
Para uma aleta circular,
Substituindo :
²

Passo 5

Vamos definir :

Passo 6

A solução geral da equação diferencial é:
Como , ficamos com:

Passo 7

Queremos a temperatura no meio da aleta, ou seja, .
Substituindo :

Passo 8

Calculando os argumentos das funções hiperbólicas:
Então:

Passo 9

Calculando os valores das funções hiperbólicas:
Então:

Resposta

A temperatura das aletas em é aproximadamente .

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Resp:
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