Aletas circulares de diâmetro D=1 mm e comprimento L=25,4 mm, feitas de cobre [K=400 W /(m K)], são utilizadas para aumentar a transferência de calor a partir de uma superfície mantida na temperatura T51=132^circ C. Cada vareta tem sua extremidade fixada nessa superfície ( x=0 ), enquanto a extremidade oposta (x=L) é fixada na segunda superfície, mantida a T52=0 ^circ C. Ar a 0^circ C flui entre as superfícies e as varetas, o que confere um coeficiente convectivo de transferência de calor de 100 W /(m^2 K). A partir dessas informações,
(a) Calcule a temperatura das aletas em x=L / 2;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre transferência de calor usando aletas circulares de cobre. A ideia é encontrar a temperatura no meio da aleta, ou seja, em . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre condução de calor em aletas e como a convecção influencia nessa transferência.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
  • Diâmetro da aleta,
  • Comprimento da aleta,
  • Condutividade térmica do cobre,
  • Temperatura na base da aleta,
  • Temperatura na ponta da aleta,
  • Coeficiente de convecção, ²

Passo 3

Vamos lembrar que a temperatura ao longo da aleta é governada pela equação de condução de calor com convecção. A equação diferencial para a temperatura d^2 Tdx^2 - hPK Ac (T - Tinfty) = 0 ao longo da aleta é:
Onde:
  • é o perímetro da seção transversal da aleta.
  • é a área da seção transversal.
  • é a temperatura do ar, que é .

Passo 4

Calculando o perímetro P = pi D e a área da seção transversal Ac = pi D^24 :
Para uma aleta circular,
P = pi times 0,001 = 0,00314 , m
Ac = pi times (0,001)^24 = 7,85 times 10^-7 , m²
Substituindo :
²

Passo 5

Vamos definir m^2 = 100 times 0,00314400 times 7,85 times 10^-7 approx 1000 , m^-2 :
m = raiz1000 approx 31,62 , m^-1

Passo 6

A solução geral da equação diferencial é:
T(x) = Tinfty + (T1 - Tinfty) sinh(m(L - x))sinh(mL)
Como T(x) = 132 times sinh(31,62 (0,0254 - x))sinh(31,62 times 0,0254) , ficamos com:

Passo 7

Queremos a temperatura no meio da aleta, ou seja, T(0,0127) = 132 times sinh(31,62 times (0,0254 - 0,0127))sinh(31,62 times 0,0254) .
Substituindo T(0,0127) = 132 times sinh(31,62 times 0,0127)sinh(31,62 times 0,0254) :

Passo 8

Calculando os argumentos das funções hiperbólicas:
31,62 times 0,0127 approx 0,402 e 31,62 times 0,0254 approx 0,804
Então:
T(0,0127) = 132 times sinh(0,402)sinh(0,804)

Passo 9

Calculando os valores das funções hiperbólicas:
sinh(0,402) approx 0,412
sinh(0,804) approx 0,899
Então:
T(0,0127) = 132 times 0,4120,899 approx 132 times 0,458 approx 60,4^circ C

Resposta

A temperatura das aletas em é aproximadamente .

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