Aletas circulares de diâmetro
e comprimento
, feitas de cobre
, são utilizadas para aumentar a transferência de calor a partir de uma superfície mantida na temperatura
. Cada vareta tem sua extremidade fixada nessa superfície (
), enquanto a extremidade oposta
é fixada na segunda superfície, mantida a
. Ar a
flui entre as superfícies e as varetas, o que confere um coeficiente convectivo de transferência de calor de 100
. A partir dessas informações,
(a) Calcule a temperatura das aletas em
;
(a) Calcule a temperatura das aletas em
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre transferência de calor usando aletas circulares de cobre. A ideia é encontrar a temperatura no meio da aleta, ou seja, em
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre condução de calor em aletas e como a convecção influencia nessa transferência.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
- Diâmetro da aleta,
- Comprimento da aleta,
- Condutividade térmica do cobre,
- Temperatura na base da aleta,
- Temperatura na ponta da aleta,
- Coeficiente de convecção,
Passo 3
Vamos lembrar que a temperatura ao longo da aleta é governada pela equação de condução de calor com convecção. A equação diferencial para a temperatura
ao longo da aleta é:
Onde:
-
é o perímetro da seção transversal da aleta. -
é a área da seção transversal. -
é a temperatura do ar, que é .
Passo 4
Calculando o perímetro
e a área da seção transversal
:
Para uma aleta circular,
Substituindo
:
Passo 5
Vamos definir
:
Passo 6
A solução geral da equação diferencial é:
Como
, ficamos com:
Passo 7
Queremos a temperatura no meio da aleta, ou seja,
.
Substituindo
:
Passo 8
Calculando os argumentos das funções hiperbólicas:
Então:
Passo 9
Calculando os valores das funções hiperbólicas:
Então:
Resposta
A temperatura das aletas em
é aproximadamente
.