Ao soltar a válvula de abastecimento, com 5 mm de diâmetro, de um balão cheio de ar (rho=1,28 kg / m^3) com peso total (balão + ar) de 1 N , o esvaziamento inicia à razão de 5 l / s. Determine o módulo de aceleração instantânea inicial que o balão experimenta, na vertical, de baixo para cima.
Resp: 6,2 m/s ^2

Passo 1

Então, vamos resumir o que está acontecendo aqui. Temos um balão cheio de ar com densidade de e peso total (balão mais ar) de 1 N. Quando soltamos a válvula de abastecimento com um diâmetro de 5 mm, o ar começa a sair a uma taxa de 5 litros por segundo. Nosso objetivo é descobrir qual é a aceleração inicial que o balão experimenta na vertical, de baixo para cima.
Para resolver isso, vamos usar os conceitos de Segunda Lei de Newton e fluxo de massa. Precisaremos entender como a força resultante afeta a aceleração do balão quando o ar está saindo.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional (SI) para facilitar os cálculos.
  • Diâmetro da válvula: 5 mm = 0,005 m
  • Taxa de fluxo de ar: 5 litros por segundo = 0,005 m³/s

Passo 3

Agora, vamos calcular a área da válvula pela qual o ar está saindo. A área A = pi ( d2 )^2 de um círculo é dada por:
A = pi ( 0,0052 )^2 = pi (0,0025)^2 approx 1,9635 times 10^-5 , m^2
onde é o diâmetro.
Substituindo os valores:

Passo 4

A taxa de fluxo volumétrico Q = A times v implies v = QA é dada por 5 litros por segundo, que já convertemos para v = 0,0051,9635 times 10^-5 approx 254,65 , m/s .
A velocidade do ar saindo pela válvula pode ser encontrada usando:
Substituindo:

Passo 5

Agora, vamos calcular a massa de ar que está saindo por segundo. Sabemos que a densidade dotm = rho times Q = 1,28 times 0,005 = 0,0064 , kg/s do ar é 1,28 kg/m³.
A massa que sai por segundo é:

Passo 6

De acordo com a Segunda Lei de Newton, a força resultante F = mg - dotmv é igual à massa vezes a aceleração ( ). Mas aqui, a massa do balão está diminuindo à medida que o ar sai, então temos uma força adicional devido à mudança na quantidade de movimento do ar.
A força resultante é composta pelo peso do balão menos a força de arraste do ar saindo:
onde:
  • é o peso do balão (já dado como 1 N)
  • é a força de arraste devido à saída do ar

Passo 7

Substituímos os valores na equação:
F = 1 , N - (0,0064 , kg/s times 254,65 , m/s) = 1 - 1,630 approx -0,630 , N
O sinal negativo indica que a força resultante está na direção contrária ao peso, ou seja, para cima.

Passo 8

Agora, aplicamos a Segunda Lei de Newton para encontrar a aceleração F = m times a :
a = Fm
Rearranjando para m = mgg = 19,81 approx 0,102 , kg :
a = -0,6300,102 approx -6,176 , m/s^2
Sabemos que o peso , então a massa é:
Substituindo na equação da aceleração:
O sinal negativo indica que a aceleração é para cima.

Resposta

A aceleração instantânea inicial que o balão experimenta é aproximadamente 6,2 m/s² para cima.

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