Ao soltar a válvula de abastecimento, com 5 mm de diâmetro, de um balão cheio de ar
com peso total (balão + ar) de 1 N , o esvaziamento inicia à razão de
. Determine o módulo de aceleração instantânea inicial que o balão experimenta, na vertical, de baixo para cima.
Resp: 6,2 m/s
Resp: 6,2 m/s
Passo 1
Então, vamos resumir o que está acontecendo aqui. Temos um balão cheio de ar com densidade de
e peso total (balão mais ar) de 1 N. Quando soltamos a válvula de abastecimento com um diâmetro de 5 mm, o ar começa a sair a uma taxa de 5 litros por segundo. Nosso objetivo é descobrir qual é a aceleração inicial que o balão experimenta na vertical, de baixo para cima.
Para resolver isso, vamos usar os conceitos de Segunda Lei de Newton e fluxo de massa. Precisaremos entender como a força resultante afeta a aceleração do balão quando o ar está saindo.
Passo 2
Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional (SI) para facilitar os cálculos.
- Diâmetro da válvula: 5 mm = 0,005 m
- Taxa de fluxo de ar: 5 litros por segundo = 0,005 m³/s
Passo 3
Agora, vamos calcular a área da válvula pela qual o ar está saindo. A área
de um círculo é dada por:
onde
é o diâmetro.
Substituindo os valores:
Passo 4
A taxa de fluxo volumétrico
é dada por 5 litros por segundo, que já convertemos para
.
A velocidade
do ar saindo pela válvula pode ser encontrada usando:
Substituindo:
Passo 5
Agora, vamos calcular a massa de ar que está saindo por segundo. Sabemos que a densidade
do ar é 1,28 kg/m³.
A massa
que sai por segundo é:
Passo 6
De acordo com a Segunda Lei de Newton, a força resultante
é igual à massa vezes a aceleração (
). Mas aqui, a massa do balão está diminuindo à medida que o ar sai, então temos uma força adicional devido à mudança na quantidade de movimento do ar.
A força resultante é composta pelo peso do balão menos a força de arraste do ar saindo:
onde:
-
é o peso do balão (já dado como 1 N) -
é a força de arraste devido à saída do ar
Passo 7
Substituímos os valores na equação:
O sinal negativo indica que a força resultante está na direção contrária ao peso, ou seja, para cima.
Passo 8
Agora, aplicamos a Segunda Lei de Newton para encontrar a aceleração
:
Rearranjando para
:
Sabemos que o peso
, então a massa
é:
Substituindo na equação da aceleração:
O sinal negativo indica que a aceleração é para cima.
Resposta
A aceleração instantânea inicial que o balão experimenta é aproximadamente 6,2 m/s² para cima.