Alguém diz a você que as soluções dos dois PVIs a seguir são exatamente as mesmas. Você concorda? Justifique.
l y^prime prime+2 y^prime+10 y=0, y(0)=0, y^prime(0)=1 y^prime prime+2 y^prime+10 y=de

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o enunciado tá pedindo. Temos duas equações diferenciais (PVI - Problemas de Valor Inicial) que parecem semelhantes, mas com algumas diferenças nas condições iniciais e no lado direito das equações. A matéria que vamos precisar aqui é Equações Diferenciais Lineares, tanto homogêneas quanto não homogêneas, e vamos usar Transformadas de Laplace pra resolver. Então, nosso objetivo é resolver cada uma das equações e ver se as soluções são realmente iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a primeira equação diferencial:
y'' + 2 y' + 10 y = 0, y(0)=0, y'(0)=1
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem. Para resolver, começamos encontrando as raízes da equação característica:
r^2 + 2 r + 10 = 0
Resolvendo a equação quadrática:
r = -2 pm raiz(2)^2 - 4 cdot 1 cdot 102 cdot 1 = -2 pm raiz4 - 402 = -2 pm raiz-362 = -2 pm 6i2 = -1 pm 3i
Assim, as raízes são complexas: y(t) = e^-t ( C1 cos(3t) + C2 sin(3t) ) . A solução geral da equação homogênea é então:
0 = e^0 ( C1 cos(0) + C2 sin(0) ) Rightarrow 0 = C1 cdot 1 + C2 cdot 0 Rightarrow C1 = 0
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar y'(t) = e^-t ( -C1 cos(3t) - C2 sin(3t) ) + e^-t ( -3 C1 sin(3t) + 3 C2 cos(3t) ) e y'(t) = e^-t ( -C2 sin(3t) + 3 C2 cos(3t) ) .
Primeira condição: 1 = e^0 ( -C2 cdot 0 + 3 C2 cdot 1 ) Rightarrow 1 = 3 C2 Rightarrow C2 = 13
y1(t) = 13 e^-t sin(3t)
Segunda condição:
Primeiro, vamos derivar :
Como :
Aplicando :
Então, a solução da primeira PVI é:

Passo 3

Agora, vamos resolver a segunda equação diferencial:
y'' + 2 y' + 10 y = de
Essa é uma equação diferencial linear não homogênea devido ao termo Ly'' + 2 Ly' + 10 Ly = Lde, que é a função delta de Dirac. Para resolver esse tipo de equação, uma boa abordagem é usar a Transformada de Laplace.
Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação:
Ly'' = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0),
Sabemos que:
Ly' = s Y(s) - y(0),
Lde
s^2 Y(s) - 0 - 0 + 2 (s Y(s) - 0) + 10 Y(s) = 1
Substituindo as condições iniciais (s^2 + 2 s + 10) Y(s) = 1 e Y(s) = 1s^2 + 2 s + 10 :
s^2 + 2 s + 10 = (s + 1)^2 + 9
Simplificando:
Y(s) = 1(s + 1)^2 + 9
Agora, isolamos Le^-a t sin(b t) = b(s + a)^2 + b^2 :
y2(t) = 13 e^-t sin(3 t)
Vamos completar o quadrado no denominador para facilitar a inversa:
Então:
Sabemos que:
Comparando com , temos e . Assim, a transformada inversa nos dá:

Passo 4

Agora, vamos comparar as duas soluções que encontramos:
  • Solução da primeira PVI:
y1(t) = 13 e^-t sin(3t)
  • Solução da segunda PVI:
y2(t) = 13 e^-t sin(3 t)
Ambas as soluções são exatamente iguais.

Resposta

Sim, as soluções das duas PVI são exatamente as mesmas. Ambas resultam na função .

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Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela das funções.
f(x, y) = x seny
Resolva os seguintes PVIs:
y^prime+2 y & =f(t), y(0)=0, onde f(t) & =ll 1, & 0 <= t<1 0, & t >= 1
(a) Mostre que f tem uma descontinuidade removível em x = 3.
(b) Redefina f(3) de modo que f seja contínua em x = 3 (25. f(x)=(x-3)/(x^2-9)
26. f(x) = (x^2 - 7x + 12) / (x - 3)
Obtenha e classifique todos os pontos críticos da função
f(x, y) = -x^3/3 + y^3/3 + x^2 * y - y^2 - 3y