Alguém diz a você que as soluções dos dois PVIs a seguir são exatamente as mesmas. Você concorda? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o enunciado tá pedindo. Temos duas equações diferenciais (PVI - Problemas de Valor Inicial) que parecem semelhantes, mas com algumas diferenças nas condições iniciais e no lado direito das equações. A matéria que vamos precisar aqui é Equações Diferenciais Lineares, tanto homogêneas quanto não homogêneas, e vamos usar Transformadas de Laplace pra resolver. Então, nosso objetivo é resolver cada uma das equações e ver se as soluções são realmente iguais.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a primeira equação diferencial:
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem. Para resolver, começamos encontrando as raízes da equação característica:
Resolvendo a equação quadrática:
Assim, as raízes são complexas:
. A solução geral da equação homogênea é então:
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeira condição:
Segunda condição:
Primeiro, vamos derivar
:
Como
:
Aplicando
:
Então, a solução da primeira PVI é:
Passo 3
Agora, vamos resolver a segunda equação diferencial:
Essa é uma equação diferencial linear não homogênea devido ao termo
, que é a função delta de Dirac. Para resolver esse tipo de equação, uma boa abordagem é usar a Transformada de Laplace.
Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação:
Sabemos que:
Substituindo as condições iniciais
e
:
Simplificando:
Agora, isolamos
:
Vamos completar o quadrado no denominador para facilitar a inversa:
Então:
Sabemos que:
Comparando com
, temos
e
. Assim, a transformada inversa nos dá:
Passo 4
Agora, vamos comparar as duas soluções que encontramos:
- Solução da primeira PVI:
- Solução da segunda PVI:
Ambas as soluções são exatamente iguais.
Resposta
Sim, as soluções das duas PVI são exatamente as mesmas. Ambas resultam na função
.
Exercícios relacionados
Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela das funções.
seny
Resolva os seguintes PVIs:
(a) Mostre que
tem uma descontinuidade removível
.
(b) Redefina de modo que
seja contínua em
(25.
26.
(b) Redefina
26.
Obtenha e classifique todos os pontos críticos da função