(a) Mostre que f tem uma descontinuidade removível em x = 3.
(b) Redefina f(3) de modo que f seja contínua em x = 3 (25. f(x)=(x-3)/(x^2-9)
26. f(x) = (x^2 - 7x + 12) / (x - 3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas funções diferentes aqui, a 25 e a 26. O que a gente precisa fazer em cada uma delas é:
(a) Mostrar que a função tem uma descontinuidade removível em , ou seja, que o limite existe nesse ponto, mas a função não está definida ou não coincide com o limite.
(b) Redefinir o valor de de forma que a função fique contínua nesse ponto.
Para isso, vamos precisar entender o que é descontinuidade removível e como calcular limites. Vamos passo a passo!

Exercício 25:

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para ver se conseguimos identificar a descontinuidade.
O denominador pode ser fatorado:
Então, a função fica:

Passo 3

Agora, podemos simplificar a fração. O termo no numerador e no denominador se cancelam:

Passo 4

Mas atenção! Quando , o denominador original se torna zero, então a função não está definida nesse ponto. Isso indica uma descontinuidade. Vamos verificar se é removível.

Passo 5

Para determinar se a descontinuidade é removível, calculamos o limite de quando se aproxima de 3:

Passo 6

Como o limite existe (é finito) e a função não está definida em , temos uma descontinuidade removível.

Passo 7

Agora, vamos fazer a parte (b) do exercício 25: redefinir para que a função seja contínua em .

Passo 8

Sabemos que o limite quando tende a 3 é . Para remover a descontinuidade, basta definir:

Passo 9

Vamos resolver o exercício 26 seguindo os mesmos passos: mostrar a descontinuidade removível em e redefinir para tornar a função contínua.

Passo 10

Primeiro, vamos fatorar o numerador :
Então, a função fica:

Passo 11

Observamos que o termo no numerador e no denominador pode ser cancelado, desde que :

Passo 12

No entanto, quando , o denominador se anula, o que significa que a função não está definida nesse ponto, indicando uma possível descontinuidade.

Passo 13

Para confirmar se é uma descontinuidade removível, calculamos o limite quando se aproxima de 3:

Passo 14

Como o limite existe e a função não está definida em , temos uma descontinuidade removível.

Passo 15

Agora, vamos redefinir para que a função seja contínua em .

Passo 16

Sabemos que o limite quando tende a 3 é . Portanto, para remover a descontinuidade, devemos definir:

Resposta

(b) Redefinindo , a função ficará contínua em .

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Alguém diz a você que as soluções dos dois PVIs a seguir são exatamente as mesmas. Você concorda? Justifique.
l y^prime prime+2 y^prime+10 y=0, y(0)=0, y^prime(0)=1 y^prime prime+2 y^prime+10 y=de
Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela das funções.
f(x, y) = x seny
Obtenha e classifique todos os pontos críticos da função
f(x, y) = -x^3/3 + y^3/3 + x^2 * y - y^2 - 3y
Resolva os seguintes PVIs:
y^prime+y & =f(t), y(0)=0, onde f(t) & =ll 1, & 0 <= t<1 -1, & t >= 1