(a) Mostre que
tem uma descontinuidade removível
.
(b) Redefina
de modo que
seja contínua em
(25.
26.
(b) Redefina
26.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas funções diferentes aqui, a 25 e a 26. O que a gente precisa fazer em cada uma delas é:
(a) Mostrar que a função tem uma descontinuidade removível em
, ou seja, que o limite existe nesse ponto, mas a função não está definida ou não coincide com o limite.
(b) Redefinir o valor de
de forma que a função fique contínua nesse ponto.
Para isso, vamos precisar entender o que é descontinuidade removível e como calcular limites. Vamos passo a passo!
Exercício 25:
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função para ver se conseguimos identificar a descontinuidade.
O denominador
pode ser fatorado:
Então, a função fica:
Passo 3
Agora, podemos simplificar a fração. O termo
no numerador e no denominador se cancelam:
Passo 4
Mas atenção! Quando
, o denominador original se torna zero, então a função não está definida nesse ponto. Isso indica uma descontinuidade. Vamos verificar se é removível.
Passo 5
Para determinar se a descontinuidade é removível, calculamos o limite de
quando
se aproxima de 3:
Passo 6
Como o limite existe (é finito) e a função não está definida em
, temos uma descontinuidade removível.
Passo 7
Agora, vamos fazer a parte (b) do exercício 25: redefinir
para que a função seja contínua em
.
Passo 8
Sabemos que o limite quando
tende a 3 é
. Para remover a descontinuidade, basta definir:
Passo 9
Vamos resolver o exercício 26 seguindo os mesmos passos: mostrar a descontinuidade removível em
e redefinir
para tornar a função contínua.
Passo 10
Primeiro, vamos fatorar o numerador
:
Então, a função fica:
Passo 11
Observamos que o termo
no numerador e no denominador pode ser cancelado, desde que
:
Passo 12
No entanto, quando
, o denominador se anula, o que significa que a função não está definida nesse ponto, indicando uma possível descontinuidade.
Passo 13
Para confirmar se é uma descontinuidade removível, calculamos o limite quando
se aproxima de 3:
Passo 14
Como o limite existe e a função não está definida em
, temos uma descontinuidade removível.
Passo 15
Agora, vamos redefinir
para que a função seja contínua em
.
Passo 16
Sabemos que o limite quando
tende a 3 é
. Portanto, para remover a descontinuidade, devemos definir:
Resposta
(b) Redefinindo
, a função
ficará contínua em
.
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