Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela das funções.
f(x, y) = x seny

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar os valores máximos e mínimos locais, além dos pontos de sela, da função . Isso está dentro da área de cálculo multivariável, especificamente no estudo de pontos críticos e análise de sua natureza. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função, encontrar onde elas são iguais a zero (pontos críticos) e então analisar essas críticas para determinar se são máximos, mínimos ou pontos de sela.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e .
A derivada parcial de em relação a é:
A derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero.
Então, resolvemos o sistema:

Passo 4

Vamos resolver a primeira equação . Sabemos que o seno de é zero quando:
é
Agora, substituímos na segunda equação .
Sabendo que , temos:

Passo 5

Portanto, os pontos críticos são todos os pontos onde:
Isso significa que a curva dos pontos críticos está ao longo do eixo nos múltiplos de .

Passo 6

Agora, precisamos determinar a natureza desses pontos críticos. Para isso, usamos a matriz Hessiana, que envolve as segundas derivadas parciais da função.
Calculamos as segundas derivadas:

Passo 7

A matriz Hessiana é dada por:
No ponto crítico , substituímos e :
Então, a matriz Hessiana no ponto crítico fica:

Passo 8

Para determinar a natureza do ponto crítico, calculamos o determinante da Hessiana ( ):

Passo 9

O valor de é negativo, o que indica que o ponto crítico é um ponto de sela. Isso significa que não há máximos ou mínimos locais nesses pontos, apenas pontos de sela.

Resposta

Todos os pontos críticos da função são pontos de sela e estão localizados na forma , onde é qualquer número inteiro. Não existem valores máximos ou mínimos locais para esta função.

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