Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela das funções.
seny
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar os valores máximos e mínimos locais, além dos pontos de sela, da função
. Isso está dentro da área de cálculo multivariável, especificamente no estudo de pontos críticos e análise de sua natureza. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função, encontrar onde elas são iguais a zero (pontos críticos) e então analisar essas críticas para determinar se são máximos, mínimos ou pontos de sela.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função
em relação a
e
.
A derivada parcial de
em relação a
é:
A derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero.
Então, resolvemos o sistema:
Passo 4
Vamos resolver a primeira equação
. Sabemos que o seno de
é zero quando:
Agora, substituímos
na segunda equação
.
Sabendo que
, temos:
Passo 5
Portanto, os pontos críticos são todos os pontos onde:
Isso significa que a curva dos pontos críticos está ao longo do eixo
nos múltiplos de
.
Passo 6
Agora, precisamos determinar a natureza desses pontos críticos. Para isso, usamos a matriz Hessiana, que envolve as segundas derivadas parciais da função.
Calculamos as segundas derivadas:
Passo 7
A matriz Hessiana
é dada por:
No ponto crítico
, substituímos
e
:
Então, a matriz Hessiana no ponto crítico fica:
Passo 8
Para determinar a natureza do ponto crítico, calculamos o determinante da Hessiana (
):
Passo 9
O valor de
é negativo, o que indica que o ponto crítico é um ponto de sela. Isso significa que não há máximos ou mínimos locais nesses pontos, apenas pontos de sela.
Resposta
Todos os pontos críticos da função
são pontos de sela e estão localizados na forma
, onde
é qualquer número inteiro. Não existem valores máximos ou mínimos locais para esta função.
Exercícios relacionados
Resolva os seguintes PVIs:
Considere a função
definida por
.
. Determine a derivada direcional de f no ponto
segundo o vetor
.
Alguém diz a você que as soluções dos dois PVIs a seguir são exatamente as mesmas. Você concorda? Justifique.
(a) Mostre que
tem uma descontinuidade removível
.
(b) Redefina de modo que
seja contínua em
(25.
26.
(b) Redefina
26.