Obtenha e classifique todos os pontos críticos da função
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar e classificar todos os pontos críticos da função:
Isso envolve cálculo de derivadas parciais e um método para classificar esses pontos, chamado Teste da Derivada Segunda. Vamos precisar achar onde as derivadas parciais iguais a zero e depois analisar a natureza desses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a
e
. As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando a gente varia só uma das variáveis, mantendo a outra fixa.
Vamos calcular
(derivada parcial em relação a
):
E agora
(derivada parcial em relação a
):
Passo 3
Os pontos críticos ocorrem onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero. Então, precisamos resolver o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar
e
.
Passo 4
Começando pela primeira equação:
Agora, substituímos
na segunda equação:
Passo 5
Vamos resolver a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas soluções:
Passo 6
Agora, usamos
para encontrar os valores de
:
- Para
:
- Para
:
Então, os pontos críticos são
e
.
Passo 7
Agora, vamos classificar esses pontos críticos usando o Teste da Derivada Segunda. Primeiro, precisamos das segundas derivadas parciais:
O determinante da matriz Hessiana é dado por:
Vamos calcular
para cada ponto crítico.
Passo 8
Para o ponto
:
Como
, o ponto
é um ponto de sela.
Para o ponto
:
Como
, o ponto
também é um ponto de sela.
Resposta
Os pontos críticos da função são
e
, ambos classificados como pontos de sela.
Exercícios relacionados
(a) Mostre que
tem uma descontinuidade removível
.
(b) Redefina de modo que
seja contínua em
(25.
26.
(b) Redefina
26.
Alguém diz a você que as soluções dos dois PVIs a seguir são exatamente as mesmas. Você concorda? Justifique.
Resolva os seguintes PVIs:
Uma empresa de componentes eletrônicos fabrica dois produtos: um básico e um mais sofisticado. A produção mensal da empresa é dada pela função:
em que
é o número de produtos básicos e
o número de produtos sofisticados feitos mensalmente. Existe um limite para a produção mensal de tais componentes de forma que
.
Determine as quantidades e
que maximizam a produção dessa empresa e justifique por que os valores de
e
que você encontrou maximizam a produção.
Determine as quantidades