Obtenha e classifique todos os pontos críticos da função
f(x, y) = -x^3/3 + y^3/3 + x^2 * y - y^2 - 3y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar e classificar todos os pontos críticos da função:
f(x, y) = -x^3/3 + y^3/3 + x^2 * y - y^2 - 3y
Isso envolve cálculo de derivadas parciais e um método para classificar esses pontos, chamado Teste da Derivada Segunda. Vamos precisar achar onde as derivadas parciais iguais a zero e depois analisar a natureza desses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e . As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando a gente varia só uma das variáveis, mantendo a outra fixa.
Vamos calcular (derivada parcial em relação a ):
E agora (derivada parcial em relação a ):

Passo 3

Os pontos críticos ocorrem onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero. Então, precisamos resolver o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar e .

Passo 4

Começando pela primeira equação:
Agora, substituímos na segunda equação:

Passo 5

Vamos resolver a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas soluções:

Passo 6

Agora, usamos para encontrar os valores de :
  1. Para :
  1. Para :
Então, os pontos críticos são e .

Passo 7

Agora, vamos classificar esses pontos críticos usando o Teste da Derivada Segunda. Primeiro, precisamos das segundas derivadas parciais:
O determinante da matriz Hessiana é dado por:
Vamos calcular para cada ponto crítico.

Passo 8

Para o ponto :
Como , o ponto é um ponto de sela.
Para o ponto :
Como , o ponto também é um ponto de sela.

Resposta

Os pontos críticos da função são e , ambos classificados como pontos de sela.

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