Algumas vezes é possível resolver uma equação Não Linear, fazendo uma mudança de variável dependente que a transforma em uma equação Linear. O exemplo mais importante de tal equação é da forma:
E é chamada Equação de Bernoulli em honra a Jakob Bernoulli. As equações abaixo, tratam de questões deste tipo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação que parece meio complicada à primeira vista, mas com umas manhas dá pra resolver. O tema aqui é Equação de Bernoulli, que é uma equação diferencial não linear. Nosso objetivo é transformar essa equação numa forma mais simples que a gente consiga resolver. Para isso, vamos precisar usar uma mudança de variável que vai nos ajudar a linearizar a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação que precisamos resolver:
Essa é uma Equação de Bernoulli do tipo:
Aqui, , e .

Passo 3

O próximo passo é fazer uma substituição para transformar essa equação não linear numa equação linear. A substituição padrão para a Equação de Bernoulli é:
No nosso caso, , então:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a derivada de em relação a . Usando a regra da cadeia:
Mas a nossa equação original é em termos de , então vamos resolver essa parte para substituir:
Da equação original:
Substituindo na expressão de :
Lembrando que , temos:

Passo 5

Agora, nossa equação está linear:
Para resolver essa equação linear, vamos usar o fator integrante. O fator integrante é dado por:

Passo 6

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 7

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
A integral de é:
Então:

Passo 8

Agora, resolvemos para :
Lembrando que , temos:

Passo 9

Por fim, resolvemos para :

Resposta

A solução geral da equação é:

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