Algumas vezes é possível resolver uma equação Não Linear, fazendo uma mudança de variável dependente que a transforma em uma equação Linear. O exemplo mais importante de tal equação é da forma:
E é chamada Equação de Bernoulli em honra a Jakob Bernoulli. As equações abaixo, tratam de questões deste tipo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação que parece meio complicada à primeira vista, mas com umas manhas dá pra resolver. O tema aqui é Equação de Bernoulli, que é uma equação diferencial não linear. Nosso objetivo é transformar essa equação numa forma mais simples que a gente consiga resolver. Para isso, vamos precisar usar uma mudança de variável que vai nos ajudar a linearizar a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação que precisamos resolver:
Essa é uma Equação de Bernoulli do tipo:
Aqui,
,
e
.
Passo 3
O próximo passo é fazer uma substituição para transformar essa equação não linear numa equação linear. A substituição padrão para a Equação de Bernoulli é:
No nosso caso,
, então:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a derivada de
em relação a
. Usando a regra da cadeia:
Mas a nossa equação original é em termos de
, então vamos resolver essa parte para substituir:
Da equação original:
Substituindo na expressão de
:
Lembrando que
, temos:
Passo 5
Agora, nossa equação está linear:
Para resolver essa equação linear, vamos usar o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Passo 6
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 7
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
A integral de
é:
Então:
Passo 8
Agora, resolvemos para
:
Lembrando que
, temos:
Passo 9
Por fim, resolvemos para
:
Resposta
A solução geral da equação é:
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